Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

2. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x};$

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x};$

3) $y = 4\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x - 5;$

4) $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}.$

1) $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}$

Решение:

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

$y = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$

При условии, что $\cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$y = \cos x$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ для всех $x$, кроме тех, где функция не определена. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ на графике будут "выколотые" точки. Найдем координаты этих точек: $y = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$. Значит, выколотые точки имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$.

График функции представляет собой косинусоиду с выколотыми точками на оси абсцисс.

Ответ: График функции – косинусоида $y = \cos x$ с выколотыми точками на оси абсцисс при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x}$

Решение:

Область определения функции (ОДЗ) определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($1 - \sin^2 x \ge 0$) и знаменатель не должен быть равен нулю ($\cos x \neq 0$).

Условие $1 - \sin^2 x \ge 0$ эквивалентно $\cos^2 x \ge 0$, что выполняется для любого действительного $x$. Условие $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим функцию:

$y = \frac{\sqrt{\cos^2 x}}{\cos x} = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Это выражение является знаковой функцией от $\cos x$. Рассмотрим два случая:

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Это верно для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и $y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$. Это верно для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

График функции состоит из горизонтальных отрезков на уровнях $y=1$ и $y=-1$ с выколотыми концами.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ график совпадает с прямой $y=1$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$ график совпадает с прямой $y=-1$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена (выколотые точки на концах отрезков).

3) $y = 4\tan x \cdot \cot x - 5$

Решение:

Найдем область определения функции. Функции $\tan x$ и $\cot x$ должны быть определены.

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определен при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определен при $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба условия, получаем, что функция определена при $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

На области определения $\tan x \cdot \cot x = 1$. Упростим функцию:

$y = 4 \cdot 1 - 5 = -1$

Графиком является прямая $y=-1$, из которой выколоты все точки с абсциссами $x = \frac{\pi m}{2}$.

Ответ: График функции – прямая $y=-1$ с выколотыми точками, абсциссы которых равны $x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}$

Решение:

Находим область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2\cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$y = 3 - \frac{2\sin x \cos x}{2\cos x}$

На области определения функции ($\cos x \neq 0$) мы можем сократить дробь:

$y = 3 - \sin x$

График этой функции получается из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями: 1. Отражение относительно оси абсцисс (получаем $y = -\sin x$). 2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (получаем $y = 3 - \sin x$).

На графике нужно выколоть точки, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Найдем их координаты:

- Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, то $\sin x = 1$, и $y = 3 - 1 = 2$. Выколотые точки: $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$.

- Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, то $\sin x = -1$, и $y = 3 - (-1) = 4$. Выколотые точки: $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 4)$.

Ответ: График функции – синусоида $y = 3 - \sin x$ с выколотыми точками. Точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$ и $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 4)$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются выколотыми.