Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

3. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $2\sin0,25x + \sin\frac{\pi}{2};$

2) $2\cos\left(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}\right) + \cos90^\circ - 2;$

3) $\text{tg}0,125x + 4;$

4) $\text{ctg}\left(0,5x + \frac{\pi}{4}\right) + 6\sin180^\circ.$

1) 2sin0,25x + sin(π/2)

Дано:

Функция $y = 2\sin(0,25x) + \sin(\frac{\pi}{2})$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Сначала упростим данную функцию. Слагаемое $\sin(\frac{\pi}{2})$ является константой, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 2\sin(0,25x) + 1$.

Период функции не изменяется при прибавлении константы (вертикальный сдвиг) или умножении на константу (растяжение по вертикали). Следовательно, период функции $y$ совпадает с периодом функции $y_1 = \sin(0,25x)$.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.

Для функции вида $y = A \sin(kx+b)+C$ период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,25 = \frac{1}{4}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{2\pi}{|0,25|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$

2) 2cos(x/7 - π/4) + cos90° - 2

Дано:

Функция $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) + \cos(90^\circ) - 2$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Упростим функцию. Слагаемое $\cos(90^\circ)$ является константой, так как $\cos(90^\circ) = 0$.

Функция принимает вид: $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) - 2$.

Период функции определяется периодической частью $2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4})$. Сдвиг по фазе ($-\frac{\pi}{4}$) и по вертикали ($-2$) на период не влияют.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.

Для функции вида $y = A \cos(kx+b)+C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае аргумент функции можно записать как $\frac{1}{7}x - \frac{\pi}{4}$, следовательно, коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{7}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{7}|} = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$

3) tg0,125x + 4

Дано:

Функция $y = \tan(0,125x) + 4$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Данная функция имеет вид $y = \tan(0,125x) + 4$.

Сложение с константой $4$ (вертикальный сдвиг) на период не влияет. Период определяется частью $\tan(0,125x)$.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \tan(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \tan(kx+b)+C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,125 = \frac{1}{8}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{\pi}{|0,125|} = \frac{\pi}{\frac{1}{8}} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$

4) ctg(0,5x + π/4) + 6sin180°

Дано:

Функция $y = \cot(0,5x + \frac{\pi}{4}) + 6\sin(180^\circ)$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Упростим функцию. Слагаемое $6\sin(180^\circ)$ является константой, так как $\sin(180^\circ) = 0$, следовательно $6\sin(180^\circ) = 0$.

Функция принимает вид: $y = \cot(0,5x + \frac{\pi}{4})$.

Период функции определяется аргументом котангенса. Сдвиг по фазе ($+\frac{\pi}{4}$) на период не влияет.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \cot(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \cot(kx+b)+C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{\pi}{|0,5|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$