Страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Постройте график функции:

1) $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$;

2) $y = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \cos^2x + \sin2x + 1$;

4) $y = 2\tan\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

1) $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$;

Решение:

Построение графика функции $y = 1 - \cos\frac{x}{2}$ выполняется путем последовательных преобразований графика основной функции $y = \cos x$.

1. Начнем с графика функции $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем аргумент: $y_2 = \cos\frac{x}{2}$. Это соответствует растяжению графика $y_1$ вдоль оси OX в 2 раза. Период функции увеличивается в 2 раза и становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

3. Далее, инвертируем знак функции: $y_3 = -\cos\frac{x}{2}$. Это соответствует симметричному отражению графика $y_2$ относительно оси OX.

4. Наконец, прибавляем константу: $y = 1 - \cos\frac{x}{2} = y_3 + 1$. Это сдвигает график $y_3$ вверх на 1 единицу вдоль оси OY.

В результате этих преобразований получаем график с периодом $4\pi$. Область значений функции: $[-1, 1]$ для $y_3$ смещается на +1, и становится $[0, 2]$ для итоговой функции.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$:

• При $x=0$, $y = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$.
• При $x=\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
• При $x=2\pi$, $y = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. (Максимум)
• При $x=3\pi$, $y = 1 - \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$.
• При $x=4\pi$, $y = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. (Минимум)

Ответ: График функции представлен выше.

2) $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$;

Решение:

Построим график функции $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем преобразования графика $y = \sin x$.

1. Начнем с графика функции $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Выполним сдвиг (фазовый сдвиг) графика $y_1$ вдоль оси OX. Функция $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ получается сдвигом $y_1$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

3. Выполним растяжение графика $y_2$ вдоль оси OY. Функция $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4})$ получается растяжением $y_2$ от оси OX в 3 раза. Амплитуда становится равной 3.

Период функции остается $T = 2\pi$. Область значений: $[-3, 3]$.

Ключевые точки: нули функции находятся при $x - \frac{\pi}{4} = k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Максимумы ($y=3$) при $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, то есть $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Минимумы ($y=-3$) при $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, то есть $x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$.

Ответ: График функции представлен выше.

3) $y = \cos^2 x + \sin 2x + 1$;

Решение:

Для построения графика преобразуем данную функцию, используя тригонометрические тождества: $y = \cos^2 x + \sin 2x + 1$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. $y = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \sin 2x + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + \sin 2x + 1 = \sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}$.

Функция является суммой гармоник $\sin 2x$ и $\cos 2x$, а также константы. Период слагаемых $\sin 2x$ и $\cos 2x$ равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Следовательно, период всей функции также равен $\pi$.

Построим график по точкам на одном периоде, например, на отрезке $[0, \pi]$.

• При $x=0$, $y = \cos^2(0) + \sin(0) + 1 = 1^2 + 0 + 1 = 2$.
• При $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$.
• При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \cos^2(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) + 1 = 0^2 + 0 + 1 = 1$.
• При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y = \cos^2(\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 1 + 1 = 0.5$.
• При $x=\pi$, $y = \cos^2(\pi) + \sin(2\pi) + 1 = (-1)^2 + 0 + 1 = 2$.

Ответ: График функции представлен выше.

4) $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$.

Решение:

Построим график функции $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$ путем преобразования графика $y = \tan x$.

1. График $y_1 = \tan x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

2. $y_2 = \tan(2x)$: сжатие графика по оси OX в 2 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{2}$. Асимптоты: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

3. $y_3 = \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \tan(2(x + \frac{\pi}{8}))$: сдвиг графика $y_2$ влево на $\frac{\pi}{8}$. Асимптоты смещаются влево: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

4. $y_4 = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4})$: растяжение графика $y_3$ вдоль оси OY в 2 раза.

5. $y = 2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 2$: сдвиг графика $y_4$ вниз на 2 единицы.

Итоговая функция имеет период $T = \pi/2$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ - целое число. Пересечение с осью OX ($y=0$): $2\tan(2x + \frac{\pi}{4}) = 2 \implies \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$. Центры симметрии ветвей тангенса (где $y=-2$) находятся при $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

Ответ: График функции представлен выше.

2. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x};$

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x};$

3) $y = 4\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x - 5;$

4) $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}.$

1) $y = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}$

Решение:

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

$y = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$

При условии, что $\cos x \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$y = \cos x$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ для всех $x$, кроме тех, где функция не определена. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ на графике будут "выколотые" точки. Найдем координаты этих точек: $y = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$. Значит, выколотые точки имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$.

График функции представляет собой косинусоиду с выколотыми точками на оси абсцисс.

Ответ: График функции – косинусоида $y = \cos x$ с выколотыми точками на оси абсцисс при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\cos x}$

Решение:

Область определения функции (ОДЗ) определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($1 - \sin^2 x \ge 0$) и знаменатель не должен быть равен нулю ($\cos x \neq 0$).

Условие $1 - \sin^2 x \ge 0$ эквивалентно $\cos^2 x \ge 0$, что выполняется для любого действительного $x$. Условие $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим функцию:

$y = \frac{\sqrt{\cos^2 x}}{\cos x} = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Это выражение является знаковой функцией от $\cos x$. Рассмотрим два случая:

1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Это верно для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и $y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$. Это верно для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

График функции состоит из горизонтальных отрезков на уровнях $y=1$ и $y=-1$ с выколотыми концами.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ график совпадает с прямой $y=1$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$ график совпадает с прямой $y=-1$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена (выколотые точки на концах отрезков).

3) $y = 4\tan x \cdot \cot x - 5$

Решение:

Найдем область определения функции. Функции $\tan x$ и $\cot x$ должны быть определены.

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определен при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определен при $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба условия, получаем, что функция определена при $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

На области определения $\tan x \cdot \cot x = 1$. Упростим функцию:

$y = 4 \cdot 1 - 5 = -1$

Графиком является прямая $y=-1$, из которой выколоты все точки с абсциссами $x = \frac{\pi m}{2}$.

Ответ: График функции – прямая $y=-1$ с выколотыми точками, абсциссы которых равны $x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 3 - \frac{\sin 2x}{2\cos x}$

Решение:

Находим область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2\cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$y = 3 - \frac{2\sin x \cos x}{2\cos x}$

На области определения функции ($\cos x \neq 0$) мы можем сократить дробь:

$y = 3 - \sin x$

График этой функции получается из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями: 1. Отражение относительно оси абсцисс (получаем $y = -\sin x$). 2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (получаем $y = 3 - \sin x$).

На графике нужно выколоть точки, где $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Найдем их координаты:

- Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, то $\sin x = 1$, и $y = 3 - 1 = 2$. Выколотые точки: $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$.

- Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, то $\sin x = -1$, и $y = 3 - (-1) = 4$. Выколотые точки: $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 4)$.

Ответ: График функции – синусоида $y = 3 - \sin x$ с выколотыми точками. Точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2)$ и $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 4)$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются выколотыми.

3. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $2\sin0,25x + \sin\frac{\pi}{2};$

2) $2\cos\left(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}\right) + \cos90^\circ - 2;$

3) $\text{tg}0,125x + 4;$

4) $\text{ctg}\left(0,5x + \frac{\pi}{4}\right) + 6\sin180^\circ.$

1) 2sin0,25x + sin(π/2)

Дано:

Функция $y = 2\sin(0,25x) + \sin(\frac{\pi}{2})$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Сначала упростим данную функцию. Слагаемое $\sin(\frac{\pi}{2})$ является константой, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 2\sin(0,25x) + 1$.

Период функции не изменяется при прибавлении константы (вертикальный сдвиг) или умножении на константу (растяжение по вертикали). Следовательно, период функции $y$ совпадает с периодом функции $y_1 = \sin(0,25x)$.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.

Для функции вида $y = A \sin(kx+b)+C$ период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,25 = \frac{1}{4}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{2\pi}{|0,25|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$

2) 2cos(x/7 - π/4) + cos90° - 2

Дано:

Функция $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) + \cos(90^\circ) - 2$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Упростим функцию. Слагаемое $\cos(90^\circ)$ является константой, так как $\cos(90^\circ) = 0$.

Функция принимает вид: $y = 2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4}) - 2$.

Период функции определяется периодической частью $2\cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{4})$. Сдвиг по фазе ($-\frac{\pi}{4}$) и по вертикали ($-2$) на период не влияют.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.

Для функции вида $y = A \cos(kx+b)+C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае аргумент функции можно записать как $\frac{1}{7}x - \frac{\pi}{4}$, следовательно, коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{7}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{7}|} = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$

3) tg0,125x + 4

Дано:

Функция $y = \tan(0,125x) + 4$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Данная функция имеет вид $y = \tan(0,125x) + 4$.

Сложение с константой $4$ (вертикальный сдвиг) на период не влияет. Период определяется частью $\tan(0,125x)$.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \tan(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \tan(kx+b)+C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,125 = \frac{1}{8}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{\pi}{|0,125|} = \frac{\pi}{\frac{1}{8}} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$

4) ctg(0,5x + π/4) + 6sin180°

Дано:

Функция $y = \cot(0,5x + \frac{\pi}{4}) + 6\sin(180^\circ)$.

Найти:

Наименьший положительный период функции $T$.

Решение:

Упростим функцию. Слагаемое $6\sin(180^\circ)$ является константой, так как $\sin(180^\circ) = 0$, следовательно $6\sin(180^\circ) = 0$.

Функция принимает вид: $y = \cot(0,5x + \frac{\pi}{4})$.

Период функции определяется аргументом котангенса. Сдвиг по фазе ($+\frac{\pi}{4}$) на период не влияет.

Наименьший положительный период функции $y_0 = \cot(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции вида $y = A \cot(kx+b)+C$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Вычисляем период:

$T = \frac{\pi}{|0,5|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$

4. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x - 10\sin x = 0;$

2) $\sin 3x = \sin x;$

3) $\cos^2 x + 0,1\cos x = 0;$

4) $\cos 15x = \cos 3x;$

5) $4\cos^2 x = \sin x \cos x;$

6) $2\sin^2 x = 3\sin x.$

1)

Решение

Исходное уравнение: $sin²x - 10sinx = 0$.

Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(sinx - 10) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два случая:

а) $sinx = 0$

б) $sinx - 10 = 0$

Решим каждое уравнение:

а) Для $sinx = 0$ решениями являются $x = πk$, где $k$ – любое целое число ($k ∈ Z$).

б) Уравнение $sinx - 10 = 0$ равносильно $sinx = 10$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$, а $10$ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только решения первого случая.

Ответ: $x = πk, k ∈ Z$.

2)

Решение

Исходное уравнение: $sin3x = sinx$.

Перенесем $sinx$ в левую часть:

$sin3x - sinx = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов $sinα - sinβ = 2sin\frac{α-β}{2}cos\frac{α+β}{2}$:

$2sin\frac{3x-x}{2}cos\frac{3x+x}{2} = 0$

$2sin(x)cos(2x) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $sinx = 0$

б) $cos(2x) = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $sinx = 0 \implies x = πk, k ∈ Z$.

б) $cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{π}{2} + πn \implies x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = πk; x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}, k, n ∈ Z$.

3)

Решение

Исходное уравнение: $cos²x + 0.1cosx = 0$.

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx + 0.1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $cosx = 0$

б) $cosx + 0.1 = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $cosx = 0 \implies x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z$.

б) $cosx + 0.1 = 0 \implies cosx = -0.1$. Так как $|-0.1| \le 1$, уравнение имеет решения. Решениями являются $x = ±arccos(-0.1) + 2πn, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{π}{2} + πk; x = ±arccos(-0.1) + 2πn, k, n ∈ Z$.

4)

Решение

Исходное уравнение: $cos15x = cos3x$.

Перенесем $cos3x$ в левую часть:

$cos15x - cos3x = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов $cosα - cosβ = -2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}$:

$-2sin\frac{15x+3x}{2}sin\frac{15x-3x}{2} = 0$

$-2sin(9x)sin(6x) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $sin(9x) = 0$

б) $sin(6x) = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $sin(9x) = 0 \implies 9x = πk \implies x = \frac{πk}{9}, k ∈ Z$.

б) $sin(6x) = 0 \implies 6x = πn \implies x = \frac{πn}{6}, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{πk}{9}; x = \frac{πn}{6}, k, n ∈ Z$.

5)

Решение

Исходное уравнение: $4cos²x = sinxcosx$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$4cos²x - sinxcosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(4cosx - sinx) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $cosx = 0$

б) $4cosx - sinx = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $cosx = 0 \implies x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z$.

б) $4cosx - sinx = 0$. Проверим, могут ли решения первого уравнения быть решениями второго. Если $cosx = 0$, то $sinx = ±1$. Подставляя в уравнение, получаем $4(0) - (±1) = 0$, что неверно. Следовательно, для решений этого уравнения $cosx \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:

$4 - \frac{sinx}{cosx} = 0$

$4 - tanx = 0$

$tanx = 4$

Решениями этого уравнения являются $x = arctan(4) + πn, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{π}{2} + πk; x = arctan(4) + πn, k, n ∈ Z$.

6)

Решение

Исходное уравнение: $2sin²x = 3sinx$.

Перенесем все члены в левую часть:

$2sin²x - 3sinx = 0$

Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(2sinx - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $sinx = 0$

б) $2sinx - 3 = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $sinx = 0 \implies x = πk, k ∈ Z$.

б) $2sinx - 3 = 0 \implies 2sinx = 3 \implies sinx = \frac{3}{2} = 1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$, а $1.5$ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только решения первого случая.

Ответ: $x = πk, k ∈ Z$.

5. Решите уравнение:

1) $\sin x + \sin 2x = 2\cos^2 x + \cos x;$

2) $\sin^2 x - 0,25 = 0;$

3) $\sin^2 x - 1,5\sin x = -0,5;$

4) $\cos^2 x - 0,5\cos x = 0,5;$

5) $\sin^2 2x - \sin 4x = 3\cos^2 2x;$

6) $3\sin^2 3x + \sin 6x - \cos^2 3x = 0.$

1)

Дано:

$sinx + sin2x = 2cos^2x + cosx$

Найти:

$x$

Решение:

Используем формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$ и перенесем все члены в левую часть:

$sinx + 2sinxcosx - 2cos^2x - cosx = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(sinx - cosx) + (2sinxcosx - 2cos^2x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(sinx - cosx) + 2cosx(sinx - cosx) = 0$

Вынесем общий множитель $(sinx - cosx)$ за скобки:

$(sinx - cosx)(1 + 2cosx) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $sinx - cosx = 0$

$sinx = cosx$

Разделим обе части на $cosx$, предполагая, что $cosx \neq 0$. Если $cosx = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, тогда $sinx = \pm 1$, и равенство $sinx = cosx$ не выполняется. Следовательно, $cosx \neq 0$.

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $1 + 2cosx = 0$

$2cosx = -1$

$cosx = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано:

$sin^2x - 0,25 = 0$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем 0,25 в правую часть:

$sin^2x = 0,25$

$sin^2x = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$sinx = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$sinx = \pm \frac{1}{2}$

Это распадается на два простейших тригонометрических уравнения:

1) $sinx = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $sinx = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано:

$sin^2x - 1,5sinx = -0,5$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем все члены в левую часть:

$sin^2x - 1,5sinx + 0,5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $sinx$. Сделаем замену $t = sinx$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 1,5t + 0,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:

1) $sinx = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $sinx = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано:

$cos^2x - 0,5cosx = 0,5$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем все члены в левую часть:

$cos^2x - 0,5cosx - 0,5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену $t = cosx$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 0,5t - 0,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:

1) $cosx = 1$

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $cosx = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5)

Дано:

$sin^2(2x) - sin(4x) = 3cos^2(2x)$

Найти:

$x$

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла $sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)$:

$sin^2(2x) - 2sin(2x)cos(2x) = 3cos^2(2x)$

Перенесем все члены в левую часть:

$sin^2(2x) - 2sin(2x)cos(2x) - 3cos^2(2x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $cos(2x)$ быть равным нулю. Если $cos(2x) = 0$, то $sin^2(2x) = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Значит, $cos(2x) \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $cos^2(2x)$:

$\frac{sin^2(2x)}{cos^2(2x)} - \frac{2sin(2x)cos(2x)}{cos^2(2x)} - \frac{3cos^2(2x)}{cos^2(2x)} = 0$

$tan^2(2x) - 2tan(2x) - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan(2x)$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

1) $tan(2x) = 3$

$2x = \arctan(3) + \pi n$

$x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $tan(2x) = -1$

$2x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

6)

Дано:

$3sin^2(3x) + sin(6x) - cos^2(3x) = 0$

Найти:

$x$

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла $sin(6x) = 2sin(3x)cos(3x)$:

$3sin^2(3x) + 2sin(3x)cos(3x) - cos^2(3x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $cos(3x)$ быть равным нулю. Если $cos(3x) = 0$, то $sin^2(3x) = 1$. Подставив в уравнение, получим $3(1) + 0 - 0 = 0$, то есть $3=0$, что неверно. Значит, $cos(3x) \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $cos^2(3x)$:

$\frac{3sin^2(3x)}{cos^2(3x)} + \frac{2sin(3x)cos(3x)}{cos^2(3x)} - \frac{cos^2(3x)}{cos^2(3x)} = 0$

$3tan^2(3x) + 2tan(3x) - 1 = 0$

Сделаем замену $t = tan(3x)$:

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Вернемся к замене:

1) $tan(3x) = \frac{1}{3}$

$3x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$

$x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $tan(3x) = -1$

$3x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

6. Решите неравенство:

1) $ \cos \left(x + \frac{\pi}{5}\right) \ge \frac{1}{2}; $

2) $ \sin \left(-x + \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \text{tg} \left(0.5x - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3}; $

4) $ \cos^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 0; $

5) $ \cos \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \ge 0.5; $

6) $ \text{ctg} \left(2.5x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{\sqrt{3}}. $

1) Решим неравенство $ \cos\left(x + \frac{\pi}{5}\right) \geq \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \cos t \geq \frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства является промежуток $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq t \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq x + \frac{\pi}{5} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей неравенства:
$ -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \leq x \leq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k $
$ -\frac{5\pi + 3\pi}{15} + 2\pi k \leq x \leq \frac{5\pi - 3\pi}{15} + 2\pi k $
$ -\frac{8\pi}{15} + 2\pi k \leq x \leq \frac{2\pi}{15} + 2\pi k $
Ответ: $ x \in \left[-\frac{8\pi}{15} + 2\pi k; \frac{2\pi}{15} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin\left(-x + \frac{\pi}{6}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, преобразуем неравенство:
$ \sin\left(-\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \geq -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Сделаем замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \sin t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого неравенства является промежуток $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $
Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям неравенства:
$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ \frac{-3\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k \leq x \leq \frac{15\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k $
$ -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \leq x \leq \frac{17\pi}{12} + 2\pi k $
Ответ: $ x \in \left[-\frac{\pi}{12} + 2\pi k; \frac{17\pi}{12} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \text{tg}\left(0,5x - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Сделаем замену $ t = 0,5x - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \text{tg} t > \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Решением этого неравенства является промежуток $ \frac{\pi}{6} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ \frac{\pi}{6} + \pi k < 0,5x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k $
Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:
$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k < 0,5x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ \frac{\pi + 2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{3\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $
Умножим все части на 2:
$ \pi + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $
Ответ: $ x \in \left(\pi + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 0 $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:
$ \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) \leq 0 $
$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \leq 0 $
Используем формулу приведения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha $:
$ -\sin(2x) \leq 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ \sin(2x) \geq 0 $
Сделаем замену $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin t \geq 0 $.
Решением этого неравенства является промежуток $ 2\pi k \leq t \leq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ 2\pi k \leq 2x \leq \pi + 2\pi k $
Разделим все части на 2:
$ \pi k \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \pi k $
Ответ: $ x \in \left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \geq 0,5 $.
Умножим обе части неравенства на 2:
$ 2\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \geq 1 $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \sin\left(2\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\right) \geq 1 $
$ \sin\left(6x - \frac{2\pi}{3}\right) \geq 1 $
Поскольку область значений функции синус $ [-1, 1] $, это неравенство выполняется только тогда, когда левая часть равна 1.
$ \sin\left(6x - \frac{2\pi}{3}\right) = 1 $
Решим это уравнение:
$ 6x - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ 6x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $
$ 6x = \frac{3\pi + 4\pi}{6} + 2\pi k $
$ 6x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $
$ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{6} $
$ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi k}{3} $
Ответ: $ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

6) Решим неравенство $ \text{ctg}\left(2,5x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Сделаем замену $ t = 2,5x + \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg} t < \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Учитывая, что $ \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $ и функция котангенса является убывающей на своем периоде $ (0, \pi) $, решением неравенства является промежуток $ \frac{\pi}{3} + \pi k < t < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ \frac{\pi}{3} + \pi k < 2,5x + \frac{\pi}{6} < \pi + \pi k $
Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей неравенства:
$ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k < 2,5x < \pi - \frac{\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{2\pi - \pi}{6} + \pi k < \frac{5}{2}x < \frac{6\pi - \pi}{6} + \pi k $
$ \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{5}{2}x < \frac{5\pi}{6} + \pi k $
Умножим все части на $ \frac{2}{5} $:
$ \frac{2}{5}\left(\frac{\pi}{6} + \pi k\right) < x < \frac{2}{5}\left(\frac{5\pi}{6} + \pi k\right) $
$ \frac{2\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{10\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} $
$ \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5} $
Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5}\right), k \in \mathbb{Z} $.

7. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin\frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$

2) $y = \arcsin(x - 3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$

1)

Дано:

Функция $y = \arcsin\frac{1}{x} + \sqrt{4 - 3x - x^2}$.

Найти:

Область определения функции $D(y)$.

Решение:

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $y_1 = \arcsin\frac{1}{x}$ и $y_2 = \sqrt{4 - 3x - x^2}$.

1. Найдем область определения $y_1 = \arcsin\frac{1}{x}$.

Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} -1 \le \frac{1}{x} \le 1 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Это двойное неравенство равносильно неравенству $|\frac{1}{x}| \le 1$, что в свою очередь равносильно $|x| \ge 1$.

Решением неравенства $|x| \ge 1$ является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

2. Найдем область определения $y_2 = \sqrt{4 - 3x - x^2}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4 - 3x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x - 4 \le 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $x \in [-4, 1]$.

3. Найдем пересечение областей определения.

Область определения исходной функции есть пересечение найденных множеств:

$D(y) = ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) \cap [-4, 1]$

Рассмотрим пересечение на числовой прямой. Пересекая интервал $[-4, 1]$ с $(-\infty, -1]$, получаем $[-4, -1]$. Пересекая $[-4, 1]$ с $[1, +\infty)$, получаем точку $\{1\}$.

Объединяя результаты, получаем: $x \in [-4, -1] \cup \{1\}$.

Ответ: $D(y) = [-4, -1] \cup \{1\}$.

2)

Дано:

Функция $y = \arcsin(x-3) + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найти:

Область определения функции $D(y)$.

Решение:

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых: $y_1 = \arcsin(x-3)$ и $y_2 = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

1. Найдем область определения $y_1 = \arcsin(x-3)$.

Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x \le 1 + 3$

$2 \le x \le 4$

Следовательно, $x \in [2, 4]$.

2. Найдем область определения $y_2 = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение областей определения.

Область определения исходной функции есть пересечение найденных множеств:

$D(y) = [2, 4] \cap ((-\infty, -1] \cup [3, +\infty))$

Пересечение отрезка $[2, 4]$ с множеством $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$ дает отрезок $[3, 4]$.

Ответ: $D(y) = [3, 4]$.