Страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

15. Найдите экстремумы функции:

1) $y = 5x^2 + 3x - 2;$

2) $y = 4x^3 - 3x + 1;$

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2};$

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}.$

1) $y = 5x^2 + 3x - 2$

Решение
Для нахождения экстремумов функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю для определения критических точек, а затем исследуем знак производной в окрестности этих точек.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$y' = (5x^2 + 3x - 2)' = 10x + 3$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$10x + 3 = 0$
$x = -\frac{3}{10} = -0.3$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает числовую ось.
Для $x < -0.3$, производная $y' < 0$ (например, $y'(-1) = -7$), следовательно, функция убывает.
Для $x > -0.3$, производная $y' > 0$ (например, $y'(0) = 3$), следовательно, функция возрастает.
Поскольку в точке $x = -0.3$ производная меняет знак с «−» на «+», эта точка является точкой минимума.
5. Вычисляем значение функции в точке минимума (экстремум):
$y_{min} = y(-0.3) = 5(-0.3)^2 + 3(-0.3) - 2 = 5(0.09) - 0.9 - 2 = 0.45 - 2.9 = -2.45$.
Ответ: минимум функции $y_{min} = -2.45$ в точке $x = -0.3$.

2) $y = 4x^3 - 3x + 1$

Решение
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$y' = (4x^3 - 3x + 1)' = 12x^2 - 3$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$12x^2 - 3 = 0$
$12x^2 = 3$
$x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
$x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1/2)$, $(-1/2; 1/2)$ и $(1/2; +\infty)$.
Для $x < -1/2$ (например, $x = -1$), $y'(-1) = 12(-1)^2 - 3 = 9 > 0$, функция возрастает.
Для $-1/2 < x < 1/2$ (например, $x = 0$), $y'(0) = 12(0)^2 - 3 = -3 < 0$, функция убывает.
Для $x > 1/2$ (например, $x = 1$), $y'(1) = 12(1)^2 - 3 = 9 > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -1/2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.
В точке $x = 1/2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.
5. Вычисляем значения функции в точках экстремума:
$y_{max} = y(-1/2) = 4(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2}) + 1 = 4(-\frac{1}{8}) + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$.
$y_{min} = y(1/2) = 4(\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2}) + 1 = 4(\frac{1}{8}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$.
Ответ: максимум функции $y_{max} = 2$ в точке $x = -1/2$; минимум функции $y_{min} = 0$ в точке $x = 1/2$.

3) $y = \frac{1}{x^2 + 2}$

Решение
1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2 \ge 2$), поэтому функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{1}{x^2 + 2}\right)' = \frac{(1)'(x^2 + 2) - 1(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 2) - 2x}{(x^2 + 2)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-\frac{2x}{(x^2 + 2)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.
4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 + 2)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком числителя $-2x$.
Для $x < 0$, $-2x > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
Для $x > 0$, $-2x < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
5. Вычисляем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: максимум функции $y_{max} = 1/2$ в точке $x = 0$.

4) $y = \frac{3}{x^2 + x}$

Решение
1. Область определения функции: находим значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.
$x^2 + x = 0 \implies x(x+1) = 0 \implies x=0$ или $x=-1$.
Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$y' = \left(\frac{3}{x^2 + x}\right)' = \frac{(3)'(x^2 + x) - 3(x^2 + x)'}{(x^2 + x)^2} = \frac{0 - 3(2x + 1)}{(x^2 + x)^2} = -\frac{3(2x + 1)}{(x^2 + x)^2}$.
3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-\frac{3(2x + 1)}{(x^2 + x)^2} = 0 \implies -3(2x+1) = 0 \implies 2x+1 = 0 \implies x = -1/2$.
Эта точка принадлежит области определения функции.
4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2 + x)^2$ положителен в области определения. Знак производной зависит от знака выражения $-3(2x+1)$.
На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; -1/2)$, выражение $2x+1 < 0$, поэтому $-3(2x+1) > 0$, и $y' > 0$ (функция возрастает).
На интервалах $(-1/2; 0)$ и $(0; +\infty)$, выражение $2x+1 > 0$, поэтому $-3(2x+1) < 0$, и $y' < 0$ (функция убывает).
В точке $x = -1/2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.
5. Вычисляем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = y(-1/2) = \frac{3}{(-1/2)^2 + (-1/2)} = \frac{3}{1/4 - 1/2} = \frac{3}{-1/4} = -12$.
Ответ: локальный максимум функции $y_{max} = -12$ в точке $x = -1/2$.

16. Найдите критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции:

1) $y=(x-5)(x+1)^3 \cdot (x-2)^4$;

2) $y=(x+1,5) \cdot (x-1,5)^2 \cdot (x-2)^3$.

1) $y = (x - 5)(x + 1)^3(x - 2)^4$

Дано:

Функция $y = (x - 5)(x + 1)^3(x - 2)^4$.

Найти:

Критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции.

Решение:

Для нахождения критических точек, промежутков монотонности и экстремумов функции, найдем ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Используем правило дифференцирования произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$:

$y' = ((x-5))'(x+1)^3(x-2)^4 + (x-5)((x+1)^3)'(x-2)^4 + (x-5)(x+1)^3((x-2)^4)'$

$y' = 1 \cdot (x+1)^3(x-2)^4 + (x-5) \cdot 3(x+1)^2 \cdot (x-2)^4 + (x-5)(x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$

Вынесем общий множитель $(x+1)^2(x-2)^3$ за скобки:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [ (x+1)(x-2) + 3(x-5)(x-2) + 4(x-5)(x+1) ]$

Раскроем скобки и упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - x - 2) + 3(x^2 - 7x + 10) + 4(x^2 - 4x - 5) ]$

$= [ x^2 - x - 2 + 3x^2 - 21x + 30 + 4x^2 - 16x - 20 ]$

$= 8x^2 - 38x + 8 = 2(4x^2 - 19x + 4)$

Таким образом, производная равна:

$y' = 2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4)$

Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как производная является многочленом, она существует при всех $x$. Найдем точки, где $y' = 0$:

$2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4) = 0$

Отсюда получаем три уравнения:

1. $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2. $(x-2)^3 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

3. $4x^2 - 19x + 4 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 361 - 64 = 297$

$\sqrt{D} = \sqrt{297} = \sqrt{9 \cdot 33} = 3\sqrt{33}$

$x_{3,4} = \frac{19 \pm 3\sqrt{33}}{8}$

Итак, критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$, $x_4 = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось. Заметим, что множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной (в точке $x=-1$ смены знака нет). Знак производной определяется знаком выражения $(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4)$.

Корни в порядке возрастания: $\frac{19 - 3\sqrt{33}}{8} \approx 0.22$, $2$, $\frac{19 + 3\sqrt{33}}{8} \approx 4.53$. Точка $x=-1$ также является критической.

Интервалы знакопостоянства производной:

- При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (2; \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Анализируя смену знаков производной в критических точках, делаем выводы:

- В точке $x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

- В точке $x = 2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

- В точке $x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

- В точке $x = -1$ производная не меняет знак, поэтому это не точка экстремума (а точка перегиба).

Ответ:

Критические точки: $x = -1, x = 2, x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}, x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

Промежутки убывания: $(-\infty; \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}]$ и $[2; \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}]$.

Точка максимума: $x_{max} = 2$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x_{min} = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

2) $y = (x + 1.5)(x - 1.5)^2(x - 2)^3$

Дано:

Функция $y = (x + 1.5)(x - 1.5)^2(x - 2)^3$.

Найти:

Критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции.

Решение:

Найдем производную функции. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = ((x+1.5))'(x-1.5)^2(x-2)^3 + (x+1.5)((x-1.5)^2)'(x-2)^3 + (x+1.5)(x-1.5)^2((x-2)^3)'$

$y' = 1 \cdot (x-1.5)^2(x-2)^3 + (x+1.5) \cdot 2(x-1.5) \cdot (x-2)^3 + (x+1.5)(x-1.5)^2 \cdot 3(x-2)^2$

Вынесем общий множитель $(x-1.5)(x-2)^2$ за скобки:

$y' = (x-1.5)(x-2)^2 [ (x-1.5)(x-2) + 2(x+1.5)(x-2) + 3(x+1.5)(x-1.5) ]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - 3.5x + 3) + 2(x^2 - 0.5x - 3) + 3(x^2 - 2.25) ]$

$= [ x^2 - 3.5x + 3 + 2x^2 - x - 6 + 3x^2 - 6.75 ]$

$= 6x^2 - 4.5x - 9.75$

Для удобства вычислений, умножим многочлен на 4: $24x^2 - 18x - 39$. Разделим на 3: $8x^2 - 6x - 13$. Таким образом, $6x^2 - 4.5x - 9.75 = \frac{3}{4}(8x^2 - 6x - 13)$.

Производная равна:

$y' = \frac{3}{4}(x-1.5)(x-2)^2(8x^2 - 6x - 13)$

Найдем критические точки из условия $y'=0$:

1. $x-1.5 = 0 \Rightarrow x_1 = 1.5$

2. $(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

3. $8x^2 - 6x - 13 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-13) = 36 + 416 = 452$

$\sqrt{D} = \sqrt{452} = \sqrt{4 \cdot 113} = 2\sqrt{113}$

$x_{3,4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{113}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{113}}{8}$

Критические точки: $x_1 = 1.5$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$, $x_4 = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

Определим знаки производной на интервалах. Множитель $(x-2)^2$ не влияет на смену знака. Знак $y'$ определяется знаком выражения $(x-1.5)(8x^2 - 6x - 13)$.

Корни в порядке возрастания: $\frac{3 - \sqrt{113}}{8} \approx -0.95$, $1.5$, $\frac{3 + \sqrt{113}}{8} \approx 1.7$, $2$.

Интервалы знакопостоянства производной:

- При $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{113}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{3 - \sqrt{113}}{8}; 1.5)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1.5; \frac{3 + \sqrt{113}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{3 + \sqrt{113}}{8}; 2) \cup (2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Анализируя смену знаков производной:

- В точке $x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

- В точке $x = 1.5$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка максимума.

- В точке $x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

- В точке $x = 2$ производная не меняет знак, это не точка экстремума.

Ответ:

Критические точки: $x = 1.5, x = 2, x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}, x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

Промежутки убывания: $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{113}}{8}]$ и $[1.5; \frac{3 + \sqrt{113}}{8}]$.

Точка максимума: $x_{max} = 1.5$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x_{min} = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

17. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^2 - 3x;$

2) $y = x^3 + 6x;$

3) $y = \frac{1}{1 - x^2};$

4) $y = - \frac{2}{1 + x^2};$

1) $y = 2x^2 - 3x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 2(-x)^2 - 3(-x) = 2x^2 + 3x$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(2x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 1.5$. Точки $(0, 0)$ и $(1.5, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных асимптот также нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (2x - 3) = \pm\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (2x^2 - 3x)' = 4x - 3$. Приравняем к нулю: $4x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3/4 = 0.75$.
- На интервале $(-\infty, 3/4)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(3/4, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 3/4$ находится точка минимума. $y_{min} = y(3/4) = 2(3/4)^2 - 3(3/4) = 9/8 - 9/4 = -9/8 = -1.125$. Точка минимума: $(0.75, -1.125)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (4x - 3)' = 4$. Поскольку $y'' > 0$ для всех $x$, график функции всегда выпуклый вниз (вогнутый). Точек перегиба нет.

График функции:

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3x$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы (точка минимума) находится в точке $(0.75, -1.125)$. График пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(1.5, 0)$.

2) $y = x^3 + 6x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = (-x)^3 + 6(-x) = -x^3 - 6x = -(x^3 + 6x) = -y(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, $x(x^2+6)=0$, что дает единственный действительный корень $x=0$. Точка пересечения с обеими осями — $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = 3x^2 + 6$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $3x^2 + 6 > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. $y'' = 6x$. $y'' = 0$ при $x=0$.
- На интервале $(-\infty, 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- На интервале $(0, +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
В точке $x=0$ происходит смена знака выпуклости, значит, $(0, 0)$ — точка перегиба.

График функции:

Ответ: График функции $y = x^3 + 6x$ проходит через начало координат, симметричен относительно него, возрастает на всей числовой оси. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба.

3) $y = \frac{1}{1 - x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $1 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = \frac{1}{1 - (-x)^2} = \frac{1}{1 - x^2} = y(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат. При $x=0, y=1$. Точка $(0, 1)$. С осью Ox пересечений нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=-1$.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - x^2} = 0$, следовательно $y=0$ — горизонтальная асимптота.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{2x}{(1 - x^2)^2}$. $y'=0$ при $x=0$.
- На $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = 1$. Точка минимума $(0, 1)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. $y'' = \frac{6x^2 + 2}{(1 - x^2)^3}$.
- На $(-1, 1)$, $1-x^2 > 0 \Rightarrow y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- На $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, $1-x^2 < 0 \Rightarrow y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точек перегиба нет.

График функции:

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальные асимптоты $x=\pm 1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Точка $(0, 1)$ является точкой локального минимума.

4) $y = -\frac{2}{1 + x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель $1+x^2 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = -\frac{2}{1 + (-x)^2} = -\frac{2}{1 + x^2} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат. При $x=0, y=-2$. Точка $(0, -2)$. С осью Ox пересечений нет, т.к. $y<0$ для всех $x$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2}{1 + x^2} = 0$, т.е. $y=0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x}{(1 + x^2)^2}$. $y'=0$ при $x=0$.
- На $(-\infty, 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На $(0, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = -2$. Точка минимума $(0, -2)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. $y'' = \frac{4 - 12x^2}{(1 + x^2)^3}$. $y''=0$ при $4 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2=1/3 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{3}$.
- На $(-\infty, -1/\sqrt{3})$ и $(1/\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точки перегиба: $x = \pm 1/\sqrt{3} \approx \pm 0.577$. $y(\pm 1/\sqrt{3}) = -1.5$. Точки: $(\pm 1/\sqrt{3}, -1.5)$.

График функции (Локон Аньези):

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Точка $(0, -2)$ является точкой глобального минимума. Точки $(\pm 1/\sqrt{3}, -1.5)$ являются точками перегиба.

18. Используя простейшие преобразования, постройте график функции:

1) $y = -2\cos \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) + 3;$

2) $y = -2 + 5\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right);$

3) $y = 4 - 2\sin^2 \left(3x - \frac{\pi}{3}\right).$

1) $y = -2\cos(4x - \frac{\pi}{4}) + 3$

Решение:

Для построения графика функции $y = -2\cos(4x - \frac{\pi}{4}) + 3$ будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y_0 = \cos(x)$.

1. Сначала преобразуем выражение в аргументе косинуса, вынеся множитель 4 за скобки:

$y = -2\cos(4(x - \frac{\pi}{16})) + 3$

2. Теперь выполним построение по шагам:

• Строим график функции $y_0 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
• Сжимаем график по горизонтали (к оси OY) в 4 раза. Получаем график функции $y_1 = \cos(4x)$. Период функции уменьшается в 4 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
• Сдвигаем полученный график вправо по оси OX на $\frac{\pi}{16}$. Получаем график функции $y_2 = \cos(4(x - \frac{\pi}{16}))$.
• Растягиваем график по вертикали (от оси OX) в 2 раза и отражаем его относительно оси OX. Это соответствует умножению на -2. Получаем график функции $y_3 = -2\cos(4(x - \frac{\pi}{16}))$. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений — $[-2, 2]$.
• Сдвигаем график вверх по оси OY на 3 единицы. Получаем итоговый график функции $y = -2\cos(4(x - \frac{\pi}{16})) + 3$. Область значений становится $[1, 5]$, а средняя линия — $y=3$.

Основные характеристики функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$
• Амплитуда: $A = 2$
• Область значений: $E(y) = [1, 5]$
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{16}$ вправо
• Вертикальный сдвиг: 3 вверх

Ответ: График функции построен с помощью последовательных преобразований базовой функции $y=\cos(x)$. Итоговый график представлен на рисунке выше.

2) $y = -2 + 5\sin(2x + \frac{\pi}{6})$

Решение:

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = 5\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 2$.

Для построения графика будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y_0 = \sin(x)$.

1. Сначала преобразуем выражение в аргументе синуса, вынеся множитель 2 за скобки:

$y = 5\sin(2(x + \frac{\pi}{12})) - 2$

2. Теперь выполним построение по шагам:

• Строим график функции $y_0 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
• Сжимаем график по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Получаем график функции $y_1 = \sin(2x)$. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Сдвигаем полученный график влево по оси OX на $\frac{\pi}{12}$. Получаем график функции $y_2 = \sin(2(x + \frac{\pi}{12}))$.
• Растягиваем график по вертикали (от оси OX) в 5 раз. Это соответствует умножению на 5. Получаем график функции $y_3 = 5\sin(2(x + \frac{\pi}{12}))$. Амплитуда колебаний становится равной 5, а область значений — $[-5, 5]$.
• Сдвигаем график вниз по оси OY на 2 единицы. Получаем итоговый график функции $y = 5\sin(2(x + \frac{\pi}{12})) - 2$. Область значений становится $[-7, 3]$, а средняя линия — $y=-2$.

Основные характеристики функции:

• Период: $T = \pi$
• Амплитуда: $A = 5$
• Область значений: $E(y) = [-7, 3]$
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{12}$ влево
• Вертикальный сдвиг: 2 вниз

Ответ: График функции построен с помощью последовательных преобразований базовой функции $y=\sin(x)$. Итоговый график представлен на рисунке выше.

3) $y = 4 - 2\sin^2(3x - \frac{\pi}{3})$

Решение:

Для построения графика сначала упростим данное выражение. Воспользуемся формулой понижения степени (или косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $):

$2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$

В нашем случае $\alpha = 3x - \frac{\pi}{3}$. Подставим это в формулу:

$2\sin^2(3x - \frac{\pi}{3}) = 1 - \cos(2(3x - \frac{\pi}{3})) = 1 - \cos(6x - \frac{2\pi}{3})$

Теперь подставим полученное выражение в исходную функцию:

$y = 4 - (1 - \cos(6x - \frac{2\pi}{3})) = 4 - 1 + \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$

Теперь мы можем построить график функции $y = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$, используя преобразования графика $y_0 = \cos(x)$.

1. Вынесем множитель 6 за скобки в аргументе косинуса:

$y = \cos(6(x - \frac{2\pi}{18})) + 3 = \cos(6(x - \frac{\pi}{9})) + 3$

2. Выполним построение по шагам:

• Строим график функции $y_0 = \cos(x)$.
• Сжимаем график по горизонтали (к оси OY) в 6 раз. Получаем график функции $y_1 = \cos(6x)$. Период функции уменьшается в 6 раз и становится равным $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
• Сдвигаем полученный график вправо по оси OX на $\frac{\pi}{9}$. Получаем график функции $y_2 = \cos(6(x - \frac{\pi}{9}))$.
• Сдвигаем график вверх по оси OY на 3 единицы. Получаем итоговый график функции $y = \cos(6(x - \frac{\pi}{9})) + 3$. Область значений становится $[2, 4]$, а средняя линия — $y=3$.

Основные характеристики функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{3}$
• Амплитуда: $A = 1$
• Область значений: $E(y) = [2, 4]$
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{9}$ вправо
• Вертикальный сдвиг: 3 вверх

Ответ: После тригонометрического упрощения функция приводится к виду $y = \cos(6x - \frac{2\pi}{3}) + 3$. Ее график построен с помощью последовательных преобразований базовой функции $y=\cos(x)$ и представлен на рисунке выше.