Номер 16, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

16. Найдите критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции:

1) $y=(x-5)(x+1)^3 \cdot (x-2)^4$;

2) $y=(x+1,5) \cdot (x-1,5)^2 \cdot (x-2)^3$.

1) $y = (x - 5)(x + 1)^3(x - 2)^4$

Дано:

Функция $y = (x - 5)(x + 1)^3(x - 2)^4$.

Найти:

Критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции.

Решение:

Для нахождения критических точек, промежутков монотонности и экстремумов функции, найдем ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Используем правило дифференцирования произведения трех функций $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$:

$y' = ((x-5))'(x+1)^3(x-2)^4 + (x-5)((x+1)^3)'(x-2)^4 + (x-5)(x+1)^3((x-2)^4)'$

$y' = 1 \cdot (x+1)^3(x-2)^4 + (x-5) \cdot 3(x+1)^2 \cdot (x-2)^4 + (x-5)(x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$

Вынесем общий множитель $(x+1)^2(x-2)^3$ за скобки:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [ (x+1)(x-2) + 3(x-5)(x-2) + 4(x-5)(x+1) ]$

Раскроем скобки и упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - x - 2) + 3(x^2 - 7x + 10) + 4(x^2 - 4x - 5) ]$

$= [ x^2 - x - 2 + 3x^2 - 21x + 30 + 4x^2 - 16x - 20 ]$

$= 8x^2 - 38x + 8 = 2(4x^2 - 19x + 4)$

Таким образом, производная равна:

$y' = 2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4)$

Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как производная является многочленом, она существует при всех $x$. Найдем точки, где $y' = 0$:

$2(x+1)^2(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4) = 0$

Отсюда получаем три уравнения:

1. $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

2. $(x-2)^3 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

3. $4x^2 - 19x + 4 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 361 - 64 = 297$

$\sqrt{D} = \sqrt{297} = \sqrt{9 \cdot 33} = 3\sqrt{33}$

$x_{3,4} = \frac{19 \pm 3\sqrt{33}}{8}$

Итак, критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$, $x_4 = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось. Заметим, что множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной (в точке $x=-1$ смены знака нет). Знак производной определяется знаком выражения $(x-2)^3(4x^2 - 19x + 4)$.

Корни в порядке возрастания: $\frac{19 - 3\sqrt{33}}{8} \approx 0.22$, $2$, $\frac{19 + 3\sqrt{33}}{8} \approx 4.53$. Точка $x=-1$ также является критической.

Интервалы знакопостоянства производной:

- При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (2; \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Анализируя смену знаков производной в критических точках, делаем выводы:

- В точке $x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

- В точке $x = 2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

- В точке $x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

- В точке $x = -1$ производная не меняет знак, поэтому это не точка экстремума (а точка перегиба).

Ответ:

Критические точки: $x = -1, x = 2, x = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}, x = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

Промежутки убывания: $(-\infty; \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}]$ и $[2; \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}]$.

Точка максимума: $x_{max} = 2$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{19 - 3\sqrt{33}}{8}$ и $x_{min} = \frac{19 + 3\sqrt{33}}{8}$.

2) $y = (x + 1.5)(x - 1.5)^2(x - 2)^3$

Дано:

Функция $y = (x + 1.5)(x - 1.5)^2(x - 2)^3$.

Найти:

Критические точки, промежутки убывания, точки максимума и точки минимума функции.

Решение:

Найдем производную функции. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = ((x+1.5))'(x-1.5)^2(x-2)^3 + (x+1.5)((x-1.5)^2)'(x-2)^3 + (x+1.5)(x-1.5)^2((x-2)^3)'$

$y' = 1 \cdot (x-1.5)^2(x-2)^3 + (x+1.5) \cdot 2(x-1.5) \cdot (x-2)^3 + (x+1.5)(x-1.5)^2 \cdot 3(x-2)^2$

Вынесем общий множитель $(x-1.5)(x-2)^2$ за скобки:

$y' = (x-1.5)(x-2)^2 [ (x-1.5)(x-2) + 2(x+1.5)(x-2) + 3(x+1.5)(x-1.5) ]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$[ (x^2 - 3.5x + 3) + 2(x^2 - 0.5x - 3) + 3(x^2 - 2.25) ]$

$= [ x^2 - 3.5x + 3 + 2x^2 - x - 6 + 3x^2 - 6.75 ]$

$= 6x^2 - 4.5x - 9.75$

Для удобства вычислений, умножим многочлен на 4: $24x^2 - 18x - 39$. Разделим на 3: $8x^2 - 6x - 13$. Таким образом, $6x^2 - 4.5x - 9.75 = \frac{3}{4}(8x^2 - 6x - 13)$.

Производная равна:

$y' = \frac{3}{4}(x-1.5)(x-2)^2(8x^2 - 6x - 13)$

Найдем критические точки из условия $y'=0$:

1. $x-1.5 = 0 \Rightarrow x_1 = 1.5$

2. $(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

3. $8x^2 - 6x - 13 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-13) = 36 + 416 = 452$

$\sqrt{D} = \sqrt{452} = \sqrt{4 \cdot 113} = 2\sqrt{113}$

$x_{3,4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{113}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{113}}{8}$

Критические точки: $x_1 = 1.5$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$, $x_4 = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

Определим знаки производной на интервалах. Множитель $(x-2)^2$ не влияет на смену знака. Знак $y'$ определяется знаком выражения $(x-1.5)(8x^2 - 6x - 13)$.

Корни в порядке возрастания: $\frac{3 - \sqrt{113}}{8} \approx -0.95$, $1.5$, $\frac{3 + \sqrt{113}}{8} \approx 1.7$, $2$.

Интервалы знакопостоянства производной:

- При $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{113}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{3 - \sqrt{113}}{8}; 1.5)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1.5; \frac{3 + \sqrt{113}}{8})$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (\frac{3 + \sqrt{113}}{8}; 2) \cup (2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Анализируя смену знаков производной:

- В точке $x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

- В точке $x = 1.5$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка максимума.

- В точке $x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

- В точке $x = 2$ производная не меняет знак, это не точка экстремума.

Ответ:

Критические точки: $x = 1.5, x = 2, x = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}, x = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.

Промежутки убывания: $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{113}}{8}]$ и $[1.5; \frac{3 + \sqrt{113}}{8}]$.

Точка максимума: $x_{max} = 1.5$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{3 - \sqrt{113}}{8}$ и $x_{min} = \frac{3 + \sqrt{113}}{8}$.