Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

11. 1) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + x$ в точке с абсциссой 2.

2) На кривой $y = 3x^3 - 2$ найдите точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

3) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 4$.

1) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + x$ в точке с абсциссой 2.

Дано:
Функция $f(x) = x^3 + x$.
Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

Найти:
Уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Решение:
Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

3. Найдем значение производной в точке касания $x_0 = 2$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной.
$f'(x_0) = f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=10$ и $f'(x_0)=13$ в уравнение касательной:
$y = 10 + 13(x - 2)$.

5. Упростим уравнение:
$y = 10 + 13x - 26$
$y = 13x - 16$.

Ответ: $y = 13x - 16$.

2) На кривой $y = 3x^3 - 2$ найдите точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Дано:
Функция $f(x) = 3x^3 - 2$.

Найти:
Точку $(x_0, y_0)$, в которой касательная к графику параллельна оси Ox.

Решение:
1. Касательная параллельна оси абсцисс (оси Ox), если ее угловой коэффициент равен нулю.

2. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$.

3. Таким образом, нам нужно найти точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = 0$.

4. Найдем производную функции:
$f'(x) = (3x^3 - 2)' = 3 \cdot 3x^2 - 0 = 9x^2$.

5. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$9x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$.

6. Мы нашли абсциссу точки касания: $x_0 = 0$. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0=0$ в исходное уравнение кривой:
$y_0 = f(0) = 3 \cdot 0^3 - 2 = -2$.

7. Искомая точка имеет координаты $(0; -2)$.

Ответ: $(0; -2)$.

3) Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = x^2 - 5x + 4$.

Дано:
Функция $f(x) = x^2 - 5x + 4$.

Найти:
Тангенс угла наклона касательной $\tan \alpha$.

Решение:
1. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной в точке касания $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

2. В условии задачи не указана конкретная точка, в которой нужно найти тангенс угла наклона. В таких случаях, если не оговорено иное, можно найти тангенс в точке пересечения графика с осью ординат (осью Oy). Абсцисса этой точки равна нулю: $x_0 = 0$.

3. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 5x + 4)' = 2x - 5$.

4. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 \cdot 0 - 5 = -5$.

5. Таким образом, тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой 0 равен -5.

Ответ: -5.