Номер 17, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

17. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) $y = 2x^2 - 3x;$

2) $y = x^3 + 6x;$

3) $y = \frac{1}{1 - x^2};$

4) $y = - \frac{2}{1 + x^2};$

1) $y = 2x^2 - 3x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = 2(-x)^2 - 3(-x) = 2x^2 + 3x$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: при $y=0$, $2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(2x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 1.5$. Точки $(0, 0)$ и $(1.5, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных асимптот также нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (2x - 3) = \pm\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (2x^2 - 3x)' = 4x - 3$. Приравняем к нулю: $4x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3/4 = 0.75$.
- На интервале $(-\infty, 3/4)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(3/4, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 3/4$ находится точка минимума. $y_{min} = y(3/4) = 2(3/4)^2 - 3(3/4) = 9/8 - 9/4 = -9/8 = -1.125$. Точка минимума: $(0.75, -1.125)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (4x - 3)' = 4$. Поскольку $y'' > 0$ для всех $x$, график функции всегда выпуклый вниз (вогнутый). Точек перегиба нет.

График функции:

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3x$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы (точка минимума) находится в точке $(0.75, -1.125)$. График пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(1.5, 0)$.

2) $y = x^3 + 6x$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = (-x)^3 + 6(-x) = -x^3 - 6x = -(x^3 + 6x) = -y(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, $x(x^2+6)=0$, что дает единственный действительный корень $x=0$. Точка пересечения с обеими осями — $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = 3x^2 + 6$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $3x^2 + 6 > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. $y'' = 6x$. $y'' = 0$ при $x=0$.
- На интервале $(-\infty, 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- На интервале $(0, +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
В точке $x=0$ происходит смена знака выпуклости, значит, $(0, 0)$ — точка перегиба.

График функции:

Ответ: График функции $y = x^3 + 6x$ проходит через начало координат, симметричен относительно него, возрастает на всей числовой оси. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба.

3) $y = \frac{1}{1 - x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $1 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = \frac{1}{1 - (-x)^2} = \frac{1}{1 - x^2} = y(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат. При $x=0, y=1$. Точка $(0, 1)$. С осью Ox пересечений нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=-1$.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - x^2} = 0$, следовательно $y=0$ — горизонтальная асимптота.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{2x}{(1 - x^2)^2}$. $y'=0$ при $x=0$.
- На $(-\infty, -1)$ и $(-1, 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = 1$. Точка минимума $(0, 1)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. $y'' = \frac{6x^2 + 2}{(1 - x^2)^3}$.
- На $(-1, 1)$, $1-x^2 > 0 \Rightarrow y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- На $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, $1-x^2 < 0 \Rightarrow y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точек перегиба нет.

График функции:

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальные асимптоты $x=\pm 1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Точка $(0, 1)$ является точкой локального минимума.

4) $y = -\frac{2}{1 + x^2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель $1+x^2 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $y(-x) = -\frac{2}{1 + (-x)^2} = -\frac{2}{1 + x^2} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат. При $x=0, y=-2$. Точка $(0, -2)$. С осью Ox пересечений нет, т.к. $y<0$ для всех $x$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2}{1 + x^2} = 0$, т.е. $y=0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x}{(1 + x^2)^2}$. $y'=0$ при $x=0$.
- На $(-\infty, 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На $(0, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=0$ — точка минимума. $y_{min} = y(0) = -2$. Точка минимума $(0, -2)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба. $y'' = \frac{4 - 12x^2}{(1 + x^2)^3}$. $y''=0$ при $4 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2=1/3 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt{3}$.
- На $(-\infty, -1/\sqrt{3})$ и $(1/\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точки перегиба: $x = \pm 1/\sqrt{3} \approx \pm 0.577$. $y(\pm 1/\sqrt{3}) = -1.5$. Точки: $(\pm 1/\sqrt{3}, -1.5)$.

График функции (Локон Аньези):

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Точка $(0, -2)$ является точкой глобального минимума. Точки $(\pm 1/\sqrt{3}, -1.5)$ являются точками перегиба.