Номер 3, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

3. 1) $F(x) = \sqrt{x+1}$, $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$;

2) $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$, $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$.

1) Дано:
Функция $F(x) = \sqrt{x} + 1$
Функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Промежуток $x \in (0; +\infty)$
Найти:
Проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$ на заданном промежутке.
Решение:
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.
$F'(x) = (\sqrt{x} + 1)' = (x^{\frac{1}{2}} + 1)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Да, является.

2) Дано:
Функция $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$
Функция $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$
Промежуток $x \in (0; +\infty)$
Найти:
Проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$ на заданном промежутке.
Решение:
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x)$.
$F'(x) = (3 - 2\sqrt{x})' = (3)' - (2x^{\frac{1}{2}})' = 0 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}) = -x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ и $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (0; +\infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Да, является.