Номер 5, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Напишите общий вид первообразных для данных функций (5–7):

5.1) $f(x) = 1 - x;$

2) $f(x) = 2x - 1;$

3) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1;$

4) $f(x) = 2 - 4x - 3x^2.$

1) f(x) = 1 - x

Решение:

Общий вид первообразных для функции $f(x)$, обозначаемый как $F(x)$, находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int f(x) dx$. Для нахождения первообразной для полинома используется правило степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для данной функции $f(x) = 1 - x$ имеем:

$F(x) = \int (1 - x) dx = \int 1 dx - \int x dx$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$\int 1 dx = \int x^0 dx = x$

$\int x dx = \int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

Объединяя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = x - \frac{x^2}{2} + C$

Ответ: $F(x) = x - \frac{x^2}{2} + C$.

2) f(x) = 2x - 1

Решение:

Находим неопределенный интеграл от функции $f(x) = 2x - 1$:

$F(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx$

Используя правила интегрирования:

$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 dx = x$

Следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = x^2 - x + C$

Ответ: $F(x) = x^2 - x + C$.

3) f(x) = 3x² + 2x - 1

Решение:

Находим неопределенный интеграл от функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 1 dx$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 dx = x$

Следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = x^3 + x^2 - x + C$

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - x + C$.

4) f(x) = 2 - 4x - 3x²

Решение:

Находим неопределенный интеграл от функции $f(x) = 2 - 4x - 3x^2$:

$F(x) = \int (2 - 4x - 3x^2) dx = \int 2 dx - \int 4x dx - \int 3x^2 dx$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int 2 dx = 2x$

$\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

Следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = 2x - 2x^2 - x^3 + C$

Ответ: $F(x) = 2x - 2x^2 - x^3 + C$.