Вопросы, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Сколько функций рассматривается для введения определения первообразной? Каким условиям должны удовлетворять эти функции?

2. Как можно определить различие двух первообразных одной функции?

3. Имеется ли различие между нахождением первообразной и действием интегрирования?

4. Назовите формулу, связывающую общий вид первообразной и неопределенный интеграл.

5. Какие правила используются для нахождения первообразной функции $f(x) = 3(2x - 3) + \cos2x - 5$?

1. Сколько функций рассматривается для введения определения первообразной? Каким условиям должны удовлетворять эти функции?

Для введения определения первообразной рассматриваются две функции, которые условно обозначают как $f(x)$ и $F(x)$.
Эти функции должны удовлетворять следующему условию: функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство:
$F'(x) = f(x)$.
Таким образом, основное условие заключается в том, что функция $F(x)$ должна быть дифференцируемой на промежутке $I$, и ее производная должна быть равна функции $f(x)$ в каждой точке этого промежутка.
Ответ: Рассматриваются две функции, $F(x)$ и $f(x)$. Основное условие: производная функции $F(x)$ должна быть равна функции $f(x)$ на заданном промежутке, то есть $F'(x) = f(x)$.

2. Как можно определить различие двух первообразных одной функции?

Различие между двумя любыми первообразными одной и той же функции на заданном промежутке является постоянной величиной (константой).
Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две различные первообразные для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то для любой точки $x$ из этого промежутка выполняются равенства $F_1'(x) = f(x)$ и $F_2'(x) = f(x)$.
Рассмотрим их разность $\Phi(x) = F_1(x) - F_2(x)$. Производная этой разности равна:
$\Phi'(x) = (F_1(x) - F_2(x))' = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0$.
Поскольку производная функции $\Phi(x)$ равна нулю на всем промежутке $I$, то сама функция является константой на этом промежутке, то есть $\Phi(x) = C$, где $C$ — некоторое число.
Следовательно, $F_1(x) - F_2(x) = C$, или $F_1(x) = F_2(x) + C$.
Ответ: Различие двух первообразных одной функции есть постоянная величина (константа).

3. Имеется ли различие между нахождением первообразной и действием интегрирования?

Да, различие имеется, хотя эти понятия тесно связаны.
Нахождение первообразной — это процесс нахождения одной какой-либо функции $F(x)$, производная которой равна данной функции $f(x)$.
Действие интегрирования (в контексте неопределенного интеграла) — это операция нахождения множества всех первообразных для данной функции $f(x)$. Результатом интегрирования является общий вид первообразной, который записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).
Таким образом, интегрирование — это более общая операция, результатом которой является целое семейство функций, в то время как нахождение первообразной — это нахождение одного конкретного представителя этого семейства.
Ответ: Да, нахождение первообразной означает поиск одной функции, а интегрирование — поиск совокупности всех первообразных, отличающихся на константу.

4. Назовите формулу, связывающую общий вид первообразной и неопределенный интеграл.

Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ на некотором промежутке выражается как $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом и обозначается символом $\int f(x) dx$.
Формула, связывающая эти понятия, выглядит следующим образом:
$\int f(x) dx = F(x) + C$.
Эта формула показывает, что неопределенный интеграл от функции $f(x)$ равен общему виду ее первообразной.
Ответ: $\int f(x) dx = F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$.

5. Какие правила используются для нахождения первообразной функции $f(x) = 3(2x - 3) + \cos(2x) - 5$?

Для нахождения первообразной данной функции сначала необходимо ее упростить, а затем применить основные правила интегрирования.

Дано:
Функция $f(x) = 3(2x - 3) + \cos(2x) - 5$.

Найти:
Общий вид первообразной $F(x)$ и перечислить правила, использованные для ее нахождения.

Решение:
1. Упрощение функции:
$f(x) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 3 + \cos(2x) - 5 = 6x - 9 + \cos(2x) - 5 = 6x + \cos(2x) - 14$.
2. Нахождение первообразной (интегрирование):
$F(x) = \int (6x + \cos(2x) - 14) dx$.
В процессе вычисления используются следующие правила:
- Правило интегрирования суммы и разности: Интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов.
$F(x) = \int 6x dx + \int \cos(2x) dx - \int 14 dx$.
- Правило вынесения постоянного множителя:
$F(x) = 6 \int x dx + \int \cos(2x) dx - 14 \int 1 dx$.
- Табличные интегралы и формулы:
а) Для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $\int x^1 dx = \frac{x^2}{2}$.
б) Для сложной функции вида $g(kx+b)$: $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$, где $G$ - первообразная для $g$. В нашем случае $\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
в) Для константы: $\int 1 dx = x + C$.
3. Сборка результата:
$F(x) = 6 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.
$F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.
Ответ: Для нахождения первообразной используются: 1) правило интегрирования суммы и разности; 2) правило вынесения постоянного множителя за знак интеграла; 3) формулы для первообразных степенной функции ($\int x^n dx$), константы ($\int k dx$) и сложной функции ($\int \cos(kx) dx$). Общий вид первообразной: $F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}\sin(2x) - 14x + C$.