Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

6. Решите неравенство:

1) $ \cos \left(x + \frac{\pi}{5}\right) \ge \frac{1}{2}; $

2) $ \sin \left(-x + \frac{\pi}{6}\right) \le \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \text{tg} \left(0.5x - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3}; $

4) $ \cos^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 0; $

5) $ \cos \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \ge 0.5; $

6) $ \text{ctg} \left(2.5x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{\sqrt{3}}. $

1) Решим неравенство $ \cos\left(x + \frac{\pi}{5}\right) \geq \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{5} $. Неравенство примет вид $ \cos t \geq \frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства является промежуток $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq t \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq x + \frac{\pi}{5} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
Вычтем $ \frac{\pi}{5} $ из всех частей неравенства:
$ -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \leq x \leq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k $
$ -\frac{5\pi + 3\pi}{15} + 2\pi k \leq x \leq \frac{5\pi - 3\pi}{15} + 2\pi k $
$ -\frac{8\pi}{15} + 2\pi k \leq x \leq \frac{2\pi}{15} + 2\pi k $
Ответ: $ x \in \left[-\frac{8\pi}{15} + 2\pi k; \frac{2\pi}{15} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin\left(-x + \frac{\pi}{6}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, преобразуем неравенство:
$ \sin\left(-\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \geq -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Сделаем замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \sin t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого неравенства является промежуток $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $
Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям неравенства:
$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ \frac{-3\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k \leq x \leq \frac{15\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k $
$ -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \leq x \leq \frac{17\pi}{12} + 2\pi k $
Ответ: $ x \in \left[-\frac{\pi}{12} + 2\pi k; \frac{17\pi}{12} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \text{tg}\left(0,5x - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Сделаем замену $ t = 0,5x - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид $ \text{tg} t > \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Решением этого неравенства является промежуток $ \frac{\pi}{6} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ \frac{\pi}{6} + \pi k < 0,5x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k $
Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям неравенства:
$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k < 0,5x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k $
$ \frac{\pi + 2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{3\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + \pi k $
Умножим все части на 2:
$ \pi + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $
Ответ: $ x \in \left(\pi + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 0 $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:
$ \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) \leq 0 $
$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \leq 0 $
Используем формулу приведения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha $:
$ -\sin(2x) \leq 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ \sin(2x) \geq 0 $
Сделаем замену $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin t \geq 0 $.
Решением этого неравенства является промежуток $ 2\pi k \leq t \leq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ 2\pi k \leq 2x \leq \pi + 2\pi k $
Разделим все части на 2:
$ \pi k \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \pi k $
Ответ: $ x \in \left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \geq 0,5 $.
Умножим обе части неравенства на 2:
$ 2\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \geq 1 $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \sin\left(2\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\right) \geq 1 $
$ \sin\left(6x - \frac{2\pi}{3}\right) \geq 1 $
Поскольку область значений функции синус $ [-1, 1] $, это неравенство выполняется только тогда, когда левая часть равна 1.
$ \sin\left(6x - \frac{2\pi}{3}\right) = 1 $
Решим это уравнение:
$ 6x - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ 6x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $
$ 6x = \frac{3\pi + 4\pi}{6} + 2\pi k $
$ 6x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $
$ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{6} $
$ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi k}{3} $
Ответ: $ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

6) Решим неравенство $ \text{ctg}\left(2,5x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Сделаем замену $ t = 2,5x + \frac{\pi}{6} $. Неравенство примет вид $ \text{ctg} t < \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Учитывая, что $ \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $ и функция котангенса является убывающей на своем периоде $ (0, \pi) $, решением неравенства является промежуток $ \frac{\pi}{3} + \pi k < t < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:
$ \frac{\pi}{3} + \pi k < 2,5x + \frac{\pi}{6} < \pi + \pi k $
Вычтем $ \frac{\pi}{6} $ из всех частей неравенства:
$ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k < 2,5x < \pi - \frac{\pi}{6} + \pi k $
$ \frac{2\pi - \pi}{6} + \pi k < \frac{5}{2}x < \frac{6\pi - \pi}{6} + \pi k $
$ \frac{\pi}{6} + \pi k < \frac{5}{2}x < \frac{5\pi}{6} + \pi k $
Умножим все части на $ \frac{2}{5} $:
$ \frac{2}{5}\left(\frac{\pi}{6} + \pi k\right) < x < \frac{2}{5}\left(\frac{5\pi}{6} + \pi k\right) $
$ \frac{2\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{10\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5} $
$ \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5} $
Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{5}\right), k \in \mathbb{Z} $.