Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

5. Решите уравнение:

1) $\sin x + \sin 2x = 2\cos^2 x + \cos x;$

2) $\sin^2 x - 0,25 = 0;$

3) $\sin^2 x - 1,5\sin x = -0,5;$

4) $\cos^2 x - 0,5\cos x = 0,5;$

5) $\sin^2 2x - \sin 4x = 3\cos^2 2x;$

6) $3\sin^2 3x + \sin 6x - \cos^2 3x = 0.$

1)

Дано:

$sinx + sin2x = 2cos^2x + cosx$

Найти:

$x$

Решение:

Используем формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$ и перенесем все члены в левую часть:

$sinx + 2sinxcosx - 2cos^2x - cosx = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(sinx - cosx) + (2sinxcosx - 2cos^2x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(sinx - cosx) + 2cosx(sinx - cosx) = 0$

Вынесем общий множитель $(sinx - cosx)$ за скобки:

$(sinx - cosx)(1 + 2cosx) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $sinx - cosx = 0$

$sinx = cosx$

Разделим обе части на $cosx$, предполагая, что $cosx \neq 0$. Если $cosx = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, тогда $sinx = \pm 1$, и равенство $sinx = cosx$ не выполняется. Следовательно, $cosx \neq 0$.

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $1 + 2cosx = 0$

$2cosx = -1$

$cosx = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано:

$sin^2x - 0,25 = 0$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем 0,25 в правую часть:

$sin^2x = 0,25$

$sin^2x = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$sinx = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$sinx = \pm \frac{1}{2}$

Это распадается на два простейших тригонометрических уравнения:

1) $sinx = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $sinx = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано:

$sin^2x - 1,5sinx = -0,5$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем все члены в левую часть:

$sin^2x - 1,5sinx + 0,5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $sinx$. Сделаем замену $t = sinx$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 1,5t + 0,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:

1) $sinx = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $sinx = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано:

$cos^2x - 0,5cosx = 0,5$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем все члены в левую часть:

$cos^2x - 0,5cosx - 0,5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену $t = cosx$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 0,5t - 0,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:

1) $cosx = 1$

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $cosx = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5)

Дано:

$sin^2(2x) - sin(4x) = 3cos^2(2x)$

Найти:

$x$

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла $sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)$:

$sin^2(2x) - 2sin(2x)cos(2x) = 3cos^2(2x)$

Перенесем все члены в левую часть:

$sin^2(2x) - 2sin(2x)cos(2x) - 3cos^2(2x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $cos(2x)$ быть равным нулю. Если $cos(2x) = 0$, то $sin^2(2x) = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Значит, $cos(2x) \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $cos^2(2x)$:

$\frac{sin^2(2x)}{cos^2(2x)} - \frac{2sin(2x)cos(2x)}{cos^2(2x)} - \frac{3cos^2(2x)}{cos^2(2x)} = 0$

$tan^2(2x) - 2tan(2x) - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan(2x)$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

1) $tan(2x) = 3$

$2x = \arctan(3) + \pi n$

$x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $tan(2x) = -1$

$2x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

6)

Дано:

$3sin^2(3x) + sin(6x) - cos^2(3x) = 0$

Найти:

$x$

Решение:

Применим формулу синуса двойного угла $sin(6x) = 2sin(3x)cos(3x)$:

$3sin^2(3x) + 2sin(3x)cos(3x) - cos^2(3x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $cos(3x)$ быть равным нулю. Если $cos(3x) = 0$, то $sin^2(3x) = 1$. Подставив в уравнение, получим $3(1) + 0 - 0 = 0$, то есть $3=0$, что неверно. Значит, $cos(3x) \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $cos^2(3x)$:

$\frac{3sin^2(3x)}{cos^2(3x)} + \frac{2sin(3x)cos(3x)}{cos^2(3x)} - \frac{cos^2(3x)}{cos^2(3x)} = 0$

$3tan^2(3x) + 2tan(3x) - 1 = 0$

Сделаем замену $t = tan(3x)$:

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Вернемся к замене:

1) $tan(3x) = \frac{1}{3}$

$3x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$

$x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $tan(3x) = -1$

$3x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.