Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

4. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x - 10\sin x = 0;$

2) $\sin 3x = \sin x;$

3) $\cos^2 x + 0,1\cos x = 0;$

4) $\cos 15x = \cos 3x;$

5) $4\cos^2 x = \sin x \cos x;$

6) $2\sin^2 x = 3\sin x.$

1)

Решение

Исходное уравнение: $sin²x - 10sinx = 0$.

Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(sinx - 10) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два случая:

а) $sinx = 0$

б) $sinx - 10 = 0$

Решим каждое уравнение:

а) Для $sinx = 0$ решениями являются $x = πk$, где $k$ – любое целое число ($k ∈ Z$).

б) Уравнение $sinx - 10 = 0$ равносильно $sinx = 10$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$, а $10$ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только решения первого случая.

Ответ: $x = πk, k ∈ Z$.

2)

Решение

Исходное уравнение: $sin3x = sinx$.

Перенесем $sinx$ в левую часть:

$sin3x - sinx = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов $sinα - sinβ = 2sin\frac{α-β}{2}cos\frac{α+β}{2}$:

$2sin\frac{3x-x}{2}cos\frac{3x+x}{2} = 0$

$2sin(x)cos(2x) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $sinx = 0$

б) $cos(2x) = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $sinx = 0 \implies x = πk, k ∈ Z$.

б) $cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{π}{2} + πn \implies x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = πk; x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}, k, n ∈ Z$.

3)

Решение

Исходное уравнение: $cos²x + 0.1cosx = 0$.

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx + 0.1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $cosx = 0$

б) $cosx + 0.1 = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $cosx = 0 \implies x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z$.

б) $cosx + 0.1 = 0 \implies cosx = -0.1$. Так как $|-0.1| \le 1$, уравнение имеет решения. Решениями являются $x = ±arccos(-0.1) + 2πn, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{π}{2} + πk; x = ±arccos(-0.1) + 2πn, k, n ∈ Z$.

4)

Решение

Исходное уравнение: $cos15x = cos3x$.

Перенесем $cos3x$ в левую часть:

$cos15x - cos3x = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов $cosα - cosβ = -2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}$:

$-2sin\frac{15x+3x}{2}sin\frac{15x-3x}{2} = 0$

$-2sin(9x)sin(6x) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $sin(9x) = 0$

б) $sin(6x) = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $sin(9x) = 0 \implies 9x = πk \implies x = \frac{πk}{9}, k ∈ Z$.

б) $sin(6x) = 0 \implies 6x = πn \implies x = \frac{πn}{6}, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{πk}{9}; x = \frac{πn}{6}, k, n ∈ Z$.

5)

Решение

Исходное уравнение: $4cos²x = sinxcosx$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$4cos²x - sinxcosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(4cosx - sinx) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $cosx = 0$

б) $4cosx - sinx = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $cosx = 0 \implies x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z$.

б) $4cosx - sinx = 0$. Проверим, могут ли решения первого уравнения быть решениями второго. Если $cosx = 0$, то $sinx = ±1$. Подставляя в уравнение, получаем $4(0) - (±1) = 0$, что неверно. Следовательно, для решений этого уравнения $cosx \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:

$4 - \frac{sinx}{cosx} = 0$

$4 - tanx = 0$

$tanx = 4$

Решениями этого уравнения являются $x = arctan(4) + πn, n ∈ Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{π}{2} + πk; x = arctan(4) + πn, k, n ∈ Z$.

6)

Решение

Исходное уравнение: $2sin²x = 3sinx$.

Перенесем все члены в левую часть:

$2sin²x - 3sinx = 0$

Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(2sinx - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $sinx = 0$

б) $2sinx - 3 = 0$

Решим каждое уравнение:

а) $sinx = 0 \implies x = πk, k ∈ Z$.

б) $2sinx - 3 = 0 \implies 2sinx = 3 \implies sinx = \frac{3}{2} = 1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$, а $1.5$ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только решения первого случая.

Ответ: $x = πk, k ∈ Z$.