Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

8. Если $f(x) = x^3 - 1$, $g(x) = \sin x$ и $q(x) = \sqrt{x+1}$, то составьте следующие сложные функции:

1) $f(g(x))$

2) $f(q(x))$

3) $q(g(x))$

4) $g(f(x))$

5) $f(g(q(x)))$

6) $g(q(f(x)))$

Дано:

Даны три функции:

$f(x) = x^3 - 1$

$g(x) = \sin x$

$q(x) = \sqrt{x+1}$

Найти:

Составить сложные функции, указанные в пунктах.

Решение:

1) f(g(x));

Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ (композиции функций $f$ и $g$) необходимо подставить функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

$f(g(x)) = f(\sin x) = (\sin x)^3 - 1 = \sin^3 x - 1$.

Ответ: $\sin^3 x - 1$.

2) f(q(x));

Для нахождения $f(q(x))$ подставляем функцию $q(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$.

$f(q(x)) = f(\sqrt{x+1}) = (\sqrt{x+1})^3 - 1 = (x+1)^{3/2} - 1$.

Ответ: $(x+1)^{3/2} - 1$.

3) q(g(x));

Для нахождения $q(g(x))$ подставляем функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $q(x)$.

$q(g(x)) = q(\sin x) = \sqrt{\sin x + 1}$.

Ответ: $\sqrt{\sin x + 1}$.

4) g(f(x));

Для нахождения $g(f(x))$ подставляем функцию $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$.

$g(f(x)) = g(x^3 - 1) = \sin(x^3 - 1)$.

Ответ: $\sin(x^3 - 1)$.

5) f(g(q(x)));

Для нахождения этой тройной композиции работаем изнутри наружу. Сначала найдем внутреннюю композицию $g(q(x))$.

$g(q(x)) = g(\sqrt{x+1}) = \sin(\sqrt{x+1})$.

Теперь подставим полученный результат как аргумент в функцию $f(x)$.

$f(g(q(x))) = f(\sin(\sqrt{x+1})) = (\sin(\sqrt{x+1}))^3 - 1 = \sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

Ответ: $\sin^3(\sqrt{x+1}) - 1$.

6) g(q(f(x)));

Аналогично предыдущему пункту, работаем изнутри наружу. Сначала найдем внутреннюю композицию $q(f(x))$.

$q(f(x)) = q(x^3-1) = \sqrt{(x^3-1)+1} = \sqrt{x^3}$.

Теперь подставим полученный результат как аргумент в функцию $g(x)$.

$g(q(f(x))) = g(\sqrt{x^3}) = \sin(\sqrt{x^3})$.

Ответ: $\sin(\sqrt{x^3})$.