Номер 18, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

18.1) $\int 18 \sin 6x dx,$

2) $\int 27 \cos 9x dx,$

3) $\int \frac{15}{\cos^2 10x} dx,$

4) $\int \frac{20}{\sin^2 2,5x} dx.$

1) $\int 18 \sin 6x dx$

Решение

Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся свойствами интегралов и таблицей интегралов.

Сначала вынесем постоянный множитель 18 за знак интеграла:

$\int 18 \sin 6x dx = 18 \int \sin 6x dx$

Далее, для интегрирования функции $\sin 6x$ используем метод замены переменной. Пусть $t = 6x$. Тогда дифференциал $dt$ равен $d(6x) = 6 dx$. Отсюда $dx = \frac{dt}{6}$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$18 \int \sin t \cdot \frac{dt}{6} = \frac{18}{6} \int \sin t dt = 3 \int \sin t dt$

По таблице интегралов, $\int \sin t dt = -\cos t + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

$3 \int \sin t dt = 3(-\cos t) + C = -3\cos t + C$

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 6x$:

$-3\cos(6x) + C$

Ответ: $-3\cos(6x) + C$

2) $\int 27 \cos 9x dx$

Решение

Вынесем константу 27 за знак интеграла:

$\int 27 \cos 9x dx = 27 \int \cos 9x dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 9x$, тогда $dt = 9 dx$, и $dx = \frac{dt}{9}$.

Подставляем в интеграл:

$27 \int \cos t \cdot \frac{dt}{9} = \frac{27}{9} \int \cos t dt = 3 \int \cos t dt$

Из таблицы интегралов известно, что $\int \cos t dt = \sin t + C$.

$3 \int \cos t dt = 3\sin t + C$

Выполняем обратную замену $t = 9x$:

$3\sin(9x) + C$

Ответ: $3\sin(9x) + C$

3) $\int \frac{15}{\cos^2 10x} dx$

Решение

Вынесем постоянный множитель 15 за знак интеграла:

$\int \frac{15}{\cos^2 10x} dx = 15 \int \frac{1}{\cos^2 10x} dx$

Введем замену переменной. Пусть $t = 10x$, тогда $dt = 10 dx$, откуда $dx = \frac{dt}{10}$.

Подставляем в интеграл:

$15 \int \frac{1}{\cos^2 t} \cdot \frac{dt}{10} = \frac{15}{10} \int \frac{1}{\cos^2 t} dt = 1.5 \int \frac{1}{\cos^2 t} dt$

Согласно таблице интегралов, $\int \frac{1}{\cos^2 t} dt = \tan t + C$.

$1.5 \int \frac{1}{\cos^2 t} dt = 1.5 \tan t + C$

Производим обратную замену $t = 10x$:

$1.5\tan(10x) + C$

Ответ: $1.5\tan(10x) + C$

4) $\int \frac{20}{\sin^2 2.5x} dx$

Решение

Выносим константу 20 за знак интеграла:

$\int \frac{20}{\sin^2 2.5x} dx = 20 \int \frac{1}{\sin^2 2.5x} dx$

Используем метод замены переменной. Пусть $t = 2.5x$. Тогда $dt = 2.5 dx$, и $dx = \frac{dt}{2.5}$.

Подставляем в интеграл:

$20 \int \frac{1}{\sin^2 t} \cdot \frac{dt}{2.5} = \frac{20}{2.5} \int \frac{1}{\sin^2 t} dt = 8 \int \frac{1}{\sin^2 t} dt$

По таблице интегралов, $\int \frac{1}{\sin^2 t} dt = -\cot t + C$.

$8 \int \frac{1}{\sin^2 t} dt = 8(-\cot t) + C = -8\cot t + C$

Делаем обратную замену $t = 2.5x$:

$-8\cot(2.5x) + C$

Ответ: $-8\cot(2.5x) + C$