Номер 25, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

25.1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$.

1)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$

$F(\frac{\pi}{4}) = 1$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

По определению, первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$. Общий вид первообразной представляет собой неопределенный интеграл.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \,dx$

Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличным интегралом для сложной функции $\int \frac{1}{\cos^2(kx+b)} \,dx = \frac{1}{k}\tan(kx+b) + C$.

В нашем случае коэффициент $k=2$ и сдвиг $b = -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, общий вид первообразной для данной функции:

$F(x) = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) + C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы найти конкретную первообразную, удовлетворяющую заданному условию, необходимо найти значение константы $C$. Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + C = 1$

Упростим выражение в аргументе тангенса:

$\frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C = 1$

$\frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4}) + C = 1$

Так как значение тангенса $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем уравнение для $C$:

$\frac{1}{2} \cdot 1 + C = 1$

$\frac{1}{2} + C = 1$

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставляем найденное значение $C = \frac{1}{2}$ в общее выражение для первообразной.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$

2)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})}$

$F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится как неопределенный интеграл от $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})} \,dx$

Используем табличный интеграл для сложной функции $\int \frac{1}{\sin^2(kx+b)} \,dx = -\frac{1}{k}\cot(kx+b) + C$.

В данном случае коэффициент $k=3$ и сдвиг $b = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общий вид первообразной для данной функции:

$F(x) = -\frac{1}{3}\cot(3x - \frac{\pi}{6}) + C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Для нахождения константы $C$ используем заданное условие $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3}\cot(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

Упростим выражение в аргументе котангенса:

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{3\pi - \pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{2\pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{\pi}{3}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

Так как значение котангенса $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем уравнение для $C$:

$-\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{\sqrt{3}}{9} + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$C = \frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

$C = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$

Теперь подставляем найденное значение $C = \sqrt{3}$ в общее выражение для первообразной.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cot(3x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$