Номер 28, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

28. 1) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

2) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

1)

Дано:
Фигура ограничена линиями: $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

Найти:
Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:
Фигура, площадь которой необходимо найти, является криволинейной трапецией. Она ограничена сверху графиком функции $y = \cos x$, снизу — осью абсцисс ($y = 0$), а слева и справа — вертикальными прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ является неотрицательной ($\cos x \ge 0$). Следовательно, площадь фигуры можно вычислить как определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$
Первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$. Вычисляем интеграл:
$S = [\sin x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Используем известные значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, откуда $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значения:
$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ (кв. ед.).

Ответ: $S = \sqrt{2}$.

2)

Дано:
Фигура ограничена линиями: $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

Найти:
Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:
Данная фигура также является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = \sin x$, снизу — осью Ox ($y = 0$), слева — прямой $x = \frac{\pi}{3}$, а справа граница совпадает с точкой пересечения графика с осью Ox, $x=\pi$.

На интервале $[\frac{\pi}{3}, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($\sin x \ge 0$), так как этот интервал является частью промежутка $[0, \pi]$, где синус положителен. Площадь вычисляется через определенный интеграл:
$S = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx$
Первообразной для функции $\sin x$ является $-\cos x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$S = [-\cos x]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
Известно, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$S = -(-1) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ (кв. ед.).

Ответ: $S = \frac{3}{2}$.