Номер 35, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите площадь фигуры, ограниченной на отрезках $[a; b]$ и $[b; c]$ соответственно графиками функций $f(x)$ и $g(x)$ и осью $Ox$ (35–36):

35. 1) $f(x) = -x^2 + 2x$, $[0; 1]$ и $g(x) = 1,5 - 0,5x$, $[1; 3];$

2) $f(x) = x$, $[0; 1]$ и $g(x) = x^2 - 4x + 4$, $[1; 2].$

1) Дано:

Функция $f(x) = -x^2 + 2x$ на отрезке $[0; 1]$.

Функция $g(x) = 1,5 - 0,5x$ на отрезке $[1; 3]$.

Найти:

Площадь фигуры $S$, ограниченной на отрезках $[0; 1]$ и $[1; 3]$ соответственно графиками функций $f(x)$, $g(x)$ и осью Ox.

Решение:

Площадь искомой фигуры $S$ равна сумме площадей двух фигур. Первая фигура ($S_1$) ограничена графиком функции $f(x)$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=1$. Вторая фигура ($S_2$) ограничена графиком функции $g(x)$, осью Ox и прямыми $x=1$ и $x=3$.

Общая площадь вычисляется как сумма двух определенных интегралов:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{3} g(x)dx$.

Прежде чем вычислять интегралы, убедимся, что функции неотрицательны на своих отрезках, чтобы интеграл соответствовал площади.

Для функции $f(x) = -x^2 + 2x = -x(x-2)$: это парабола с ветвями, направленными вниз, и корнями в точках $x=0$ и $x=2$. Следовательно, на отрезке $[0; 1]$ функция $f(x) \ge 0$.

Для функции $g(x) = 1,5 - 0,5x$: это убывающая прямая. В точке $x=1$ значение $g(1) = 1,5 - 0,5 \cdot 1 = 1 > 0$. В точке $x=3$ значение $g(3) = 1,5 - 0,5 \cdot 3 = 0$. Следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция $g(x) \ge 0$.

Теперь вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x)dx = \left(-\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} = \left(-\frac{x^3}{3} + x^2\right) \bigg|_{0}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} + 1^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 0^2\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Вычислим площадь $S_2$:

$S_2 = \int_{1}^{3} (1,5 - 0,5x)dx = \left(1,5x - 0,5\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{1}^{3} = \left(1,5x - 0,25x^2\right) \bigg|_{1}^{3} = (1,5 \cdot 3 - 0,25 \cdot 3^2) - (1,5 \cdot 1 - 0,25 \cdot 1^2) = (4,5 - 2,25) - (1,5 - 0,25) = 2,25 - 1,25 = 1$.

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.

Ответ: $S = \frac{5}{3}$ кв. ед.

2) Дано:

Функция $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$.

Функция $g(x) = x^2 - 4x + 4$ на отрезке $[1; 2]$.

Найти:

Площадь фигуры $S$, ограниченной на отрезках $[0; 1]$ и $[1; 2]$ соответственно графиками функций $f(x)$, $g(x)$ и осью Ox.

Решение:

Площадь искомой фигуры $S$ равна сумме площадей двух фигур: $S_1$ на отрезке $[0; 1]$ под графиком $f(x)$ и $S_2$ на отрезке $[1; 2]$ под графиком $g(x)$.

Общая площадь вычисляется по формуле:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{2} g(x)dx$.

Проверим знак функций на заданных отрезках.

Функция $f(x) = x$ неотрицательна на отрезке $[0; 1]$.

Функция $g(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Так как это полный квадрат, функция $g(x) \ge 0$ при любых значениях $x$, в том числе и на отрезке $[1; 2]$.

Вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \int_{0}^{1} x dx = \left(\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$.

Вычислим площадь $S_2$:

$S_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 4)dx = \left(\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 4x\right) \bigg|_{1}^{2} = \left(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x\right) \bigg|_{1}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1\right) = \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - \left(\frac{1}{3} - 2 + 4\right) = \frac{8}{3} - \left(\frac{1}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$.

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $S = \frac{5}{6}$ кв. ед.