Номер 37, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите интегралы (37–46):

37.1) $\int_{0}^{1} x^5 dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x dx.$

37.1)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} x^5 dx$.

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для функции $f(x)$.

Первообразная для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=5$, следовательно, первообразная для $f(x) = x^5$ есть $F(x) = \frac{x^6}{6}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} x^5 dx = \left. \frac{x^6}{6} \right|_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0)$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = -0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

3)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx$.

Сначала представим подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$.

Первообразная для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=-4$, следовательно, первообразная $F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} x^{-4} dx = \left. \left(-\frac{1}{3x^3}\right) \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right) = -\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

4)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \,dx$.

Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \,dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0)$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.