Номер 41, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

41.1) $\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx;$

2) $\int_{0}^{2} (2x + x^2) dx;$

3) $\int_{0}^{1} (1 + x^4) dx;$

4) $\int_{-1}^{0} (1 - x^5) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - x^2$. Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (2x - x^2)dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3}$.
Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:
$\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx = \left. \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(1^2 - \frac{1^3}{3}\right) = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{12-8}{3}\right) - \left(\frac{3-1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{2} (2x + x^2) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x + x^2$:
$F(x) = \int (2x + x^2)dx = 2\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} = x^2 + \frac{x^3}{3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{2} (2x + x^2) dx = \left. \left(x^2 + \frac{x^3}{3}\right) \right|_{0}^{2} = \left(2^2 + \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 + \frac{0^3}{3}\right) = \left(4 + \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12+8}{3} = \frac{20}{3}$.
Ответ: $\frac{20}{3}$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{1} (1 + x^4) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 + x^4$. Первообразная для константы $c$ равна $cx$.
$F(x) = \int (1 + x^4)dx = x + \frac{x^5}{5}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{1} (1 + x^4) dx = \left. \left(x + \frac{x^5}{5}\right) \right|_{0}^{1} = \left(1 + \frac{1^5}{5}\right) - \left(0 + \frac{0^5}{5}\right) = 1 + \frac{1}{5} - 0 = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$.

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{0} (1 - x^5) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 - x^5$:
$F(x) = \int (1 - x^5)dx = x - \frac{x^6}{6}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} (1 - x^5) dx = \left. \left(x - \frac{x^6}{6}\right) \right|_{-1}^{0} = \left(0 - \frac{0^6}{6}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^6}{6}\right) = 0 - \left(-1 - \frac{1}{6}\right) = - \left(-\frac{6}{6} - \frac{1}{6}\right) = - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{7}{6}$.
Ответ: $\frac{7}{6}$.