Номер 47, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Докажите справедливость равенства (47–48):

47.1) $\int_1^2 3x^2 dx = \int_0^1 14xdx;$

2) $\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_1^3 dx.$

47.1)

Чтобы доказать справедливость равенства $\int_{1}^{2} 3x^2 dx = \int_{0}^{1} 14x dx$, необходимо вычислить значение каждого определенного интеграла и сравнить результаты.

Решение

Сначала вычислим интеграл в левой части равенства:

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx$

Используя свойство интеграла и формулу для интеграла степенной функции, находим первообразную:

$F_1(x) = \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.

Далее вычислим интеграл в правой части равенства:

$\int_{0}^{1} 14x dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F_2(x) = \int 14x dx = 14 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 14 \cdot \frac{x^2}{2} = 7x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} 14x dx = \left[ 7x^2 \right]_{0}^{1} = 7 \cdot 1^2 - 7 \cdot 0^2 = 7 - 0 = 7$.

Сравнивая результаты, получаем $7=7$.

Ответ: Равенство справедливо, так как оба интеграла равны 7.

2)

Чтобы доказать справедливость равенства $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{3} dx$, вычислим значение каждого интеграла.

Решение

Вычислим левую часть равенства. Представим подынтегральную функцию в виде степени:

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{4}^{9} x^{-1/2} dx$.

Находим первообразную:

$F_1(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{9} x^{-1/2} dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.

Теперь вычислим правую часть равенства:

$\int_{1}^{3} dx = \int_{1}^{3} 1 \cdot dx$.

Находим первообразную:

$F_2(x) = \int 1 dx = x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} dx = \left[ x \right]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$.

Сравнивая результаты, получаем $2=2$.

Ответ: Равенство справедливо, так как оба интеграла равны 2.