Номер 50, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (50–55):

50.1) $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x+1)^3 dx;$ 2) $\int_{-2}^{0} \left(3 - \frac{x}{2}\right)^2 dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx;$ 4) $\int_{-4}^{0} \left(5 + \frac{x}{4}\right)^2 dx.$

50.1)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x + 1)^3 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = (2x + 1)^3 $.

Это интеграл вида $ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C $.

В нашем случае $ a=2, b=1, n=3 $.

Первообразная $ F(x) $ равна:

$ F(x) = \int (2x + 1)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^4}{4} = \frac{(2x+1)^4}{8} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x + 1)^3 dx = \left. \frac{(2x+1)^4}{8} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = F(\frac{3}{2}) - F(\frac{1}{2}) $.

Вычисляем значения первообразной на концах промежутка интегрирования:

$ F(\frac{3}{2}) = \frac{(2 \cdot \frac{3}{2} + 1)^4}{8} = \frac{(3 + 1)^4}{8} = \frac{4^4}{8} = \frac{256}{8} = 32 $.

$ F(\frac{1}{2}) = \frac{(2 \cdot \frac{1}{2} + 1)^4}{8} = \frac{(1 + 1)^4}{8} = \frac{2^4}{8} = \frac{16}{8} = 2 $.

Находим разность:

$ 32 - 2 = 30 $.

Ответ: 30.

2)

Решение:

Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{0} (3 - \frac{x}{2})^2 dx $.

Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = (3 - \frac{x}{2})^2 $. Можно раскрыть скобки или использовать метод подстановки.

Способ 1: Раскроем скобки.

$ (3 - \frac{x}{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 = 9 - 3x + \frac{x^2}{4} $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int (9 - 3x + \frac{x^2}{4}) dx = 9x - 3\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} = 9x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{12} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-2}^{0} (3 - \frac{x}{2})^2 dx = \left. (9x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{12}) \right|_{-2}^{0} $.

Вычисляем значения:

При $ x=0 $: $ 9(0) - \frac{3}{2}(0)^2 + \frac{(0)^3}{12} = 0 $.

При $ x=-2 $: $ 9(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2 + \frac{(-2)^3}{12} = -18 - \frac{3}{2}(4) + \frac{-8}{12} = -18 - 6 - \frac{2}{3} = -24 - \frac{2}{3} = -\frac{72}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{74}{3} $.

Находим разность:

$ 0 - (-\frac{74}{3}) = \frac{74}{3} $.

Ответ: $ \frac{74}{3} $.

3)

Решение:

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = (3x - 2)^3 $ по формуле $ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C $.

Здесь $ a=3, b=-2, n=3 $.

$ F(x) = \int (3x-2)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^4}{4} = \frac{(3x-2)^4}{12} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx = \left. \frac{(3x-2)^4}{12} \right|_{0}^{\frac{1}{3}} = F(\frac{1}{3}) - F(0) $.

Вычисляем значения:

$ F(\frac{1}{3}) = \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} - 2)^4}{12} = \frac{(1 - 2)^4}{12} = \frac{(-1)^4}{12} = \frac{1}{12} $.

$ F(0) = \frac{(3 \cdot 0 - 2)^4}{12} = \frac{(-2)^4}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $.

Находим разность:

$ \frac{1}{12} - \frac{16}{12} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} $.

Ответ: $ -\frac{5}{4} $.

4)

Решение:

Вычислим интеграл $ \int_{-4}^{0} (5 + \frac{x}{4})^2 dx $.

Найдем первообразную для $ f(x) = (5 + \frac{x}{4})^2 $.

Используем формулу $ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C $, где $ a=\frac{1}{4}, b=5, n=2 $.

$ F(x) = \int (5 + \frac{x}{4})^2 dx = \frac{1}{1/4} \cdot \frac{(5 + \frac{x}{4})^{2+1}}{2+1} = 4 \cdot \frac{(5 + \frac{x}{4})^3}{3} = \frac{4}{3}(5 + \frac{x}{4})^3 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-4}^{0} (5 + \frac{x}{4})^2 dx = \left. \frac{4}{3}(5 + \frac{x}{4})^3 \right|_{-4}^{0} = F(0) - F(-4) $.

Вычисляем значения:

$ F(0) = \frac{4}{3}(5 + \frac{0}{4})^3 = \frac{4}{3}(5)^3 = \frac{4}{3} \cdot 125 = \frac{500}{3} $.

$ F(-4) = \frac{4}{3}(5 + \frac{-4}{4})^3 = \frac{4}{3}(5 - 1)^3 = \frac{4}{3}(4)^3 = \frac{4}{3} \cdot 64 = \frac{256}{3} $.

Находим разность:

$ \frac{500}{3} - \frac{256}{3} = \frac{500 - 256}{3} = \frac{244}{3} $.

Ответ: $ \frac{244}{3} $.