Номер 51, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

51. 1) $\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2};$

2) $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2};$

3) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0.5x+1)^4};$

4) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0.2x)^5}.$

1)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла $\int_3^4 \frac{dx}{(x-2)^2}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} = (x-2)^{-2}$.

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $u = x-2$ и $du = dx$.

$F(x) = \int (x-2)^{-2} dx = \frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(x-2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_3^4 \frac{dx}{(x-2)^2} = [-\frac{1}{x-2}]_3^4 = (-\frac{1}{4-2}) - (-\frac{1}{3-2}) = (-\frac{1}{2}) - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Решение:

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{(x+3)^2} = (x+3)^{-2}$.

$F(x) = \int (x+3)^{-2} dx = \frac{(x+3)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(x+3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2} = [-\frac{1}{x+3}]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{-1+3}) - (-\frac{1}{-2+3}) = (-\frac{1}{2}) - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3)

Решение:

Вычислим интеграл $\int_0^2 \frac{dx}{(0,5x+1)^4}$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{(0,5x+1)^4} = (0,5x+1)^{-4}$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $a=0,5$, $b=1$, $n=-4$.

$F(x) = \int (0,5x+1)^{-4} dx = \frac{1}{0,5} \cdot \frac{(0,5x+1)^{-4+1}}{-4+1} = 2 \cdot \frac{(0,5x+1)^{-3}}{-3} = -\frac{2}{3(0,5x+1)^3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^2 \frac{dx}{(0,5x+1)^4} = [-\frac{2}{3(0,5x+1)^3}]_0^2 = (-\frac{2}{3(0,5 \cdot 2+1)^3}) - (-\frac{2}{3(0,5 \cdot 0+1)^3})$.

$= (-\frac{2}{3(1+1)^3}) - (-\frac{2}{3(1)^3}) = (-\frac{2}{3 \cdot 2^3}) - (-\frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3 \cdot 8}) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{24} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

4)

Решение:

Вычислим интеграл $\int_0^5 \frac{dx}{(2-0,2x)^5}$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{(2-0,2x)^5} = (2-0,2x)^{-5}$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $a=-0,2$, $b=2$, $n=-5$.

$F(x) = \int (2-0,2x)^{-5} dx = \frac{1}{-0,2} \cdot \frac{(2-0,2x)^{-5+1}}{-5+1} = -5 \cdot \frac{(2-0,2x)^{-4}}{-4} = \frac{5}{4(2-0,2x)^4}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^5 \frac{dx}{(2-0,2x)^5} = [\frac{5}{4(2-0,2x)^4}]_0^5 = (\frac{5}{4(2-0,2 \cdot 5)^4}) - (\frac{5}{4(2-0,2 \cdot 0)^4})$.

$= (\frac{5}{4(2-1)^4}) - (\frac{5}{4(2)^4}) = \frac{5}{4 \cdot 1^4} - \frac{5}{4 \cdot 16} = \frac{5}{4} - \frac{5}{64} = \frac{5 \cdot 16}{64} - \frac{5}{64} = \frac{80-5}{64} = \frac{75}{64}$.

Ответ: $\frac{75}{64}$.