Номер 57, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

57.1) $\int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = 4 - 2x;$

2) $\int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = 12 - 9x?`

1)

Дано:

Уравнение $ \int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = 4 - 2x $.

Найти:

Значения $ x $, удовлетворяющие данному уравнению.

Решение:

Для решения уравнения сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b) - F(a) $, где $ F(t) $ — первообразная для $ f(t) $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(t) = 3 - 2t $:

$ F(t) = \int (3 - 2t)dt = 3t - 2\frac{t^2}{2} = 3t - t^2 $.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = (3x - x^2) - (3 \cdot 0 - 0^2) = 3x - x^2 $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ 3x - x^2 = 4 - 2x $.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$ x^2 - 3x - 2x + 4 = 0 $

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $ x_1 + x_2 = 5 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = 4 $. Отсюда легко найти корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 4 $.

Другой способ — решение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.

$ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.

Ответ: $ x=1; x=4 $.

2)

Дано:

Уравнение $ \int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = 12 - 9x $.

Найти:

Значения $ x $, удовлетворяющие данному уравнению.

Решение:

Сначала вычислим определенный интеграл в левой части уравнения, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(t) = 1 - 4t $:

$ F(t) = \int (1 - 4t)dt = t - 4\frac{t^2}{2} = t - 2t^2 $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = (x - 2x^2) - (0 - 2 \cdot 0^2) = x - 2x^2 $.

Теперь подставим результат в исходное уравнение:

$ x - 2x^2 = 12 - 9x $.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$ 2x^2 - x - 9x + 12 = 0 $

$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $.

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $ x_1 + x_2 = 5 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Отсюда корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.

Или через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

$ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.

Ответ: $ x=2; x=3 $.