Вопросы, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. В каких случаях площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла?

2. Может ли плоская фигура состоять только из криволинейных трапеций? Обоснуйте ответ.

1. В каких случаях площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла?

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла, когда фигура является криволинейной трапецией или может быть представлена в виде объединения или разности нескольких криволинейных трапеций.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и двумя прямыми $x=a$ и $x=b$. Площадь $S$ такой фигуры вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В более общем случае, площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $y = f_2(x)$, а снизу — графиком функции $y = f_1(x)$ (при условии, что $f_2(x) \ge f_1(x)$ для всех $x$ из отрезка $[a, b]$), и ограниченной по бокам прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется как интеграл от разности этих функций:

$S = \int_a^b (f_2(x) - f_1(x)) \,dx$

Таким образом, с помощью определенного интеграла можно найти площадь любой плоской фигуры, границы которой можно описать с помощью непрерывных функций.

Ответ: Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла, если эта фигура является криволинейной трапецией или может быть представлена как сумма или разность криволинейных трапеций, то есть если она ограничена графиками непрерывных функций и отрезками прямых.

2. Может ли плоская фигура состоять только из криволинейных трапеций? Обоснуйте ответ.

Нет, в строгом геометрическом смысле плоская фигура не может состоять только из криволинейных трапеций.

Обоснование:

Согласно своему определению, криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком функции, осью x и двумя вертикальными прямыми. Это означает, что три из четырех ее границ являются отрезками прямых. При любом способе соединения (композиции) таких трапеций, например, прикладывая их друг к другу вдоль вертикальных сторон, у итоговой объединенной фигуры всё равно останутся прямолинейные участки на границе (как минимум, нижнее основание на оси Ох).

Рассмотрим фигуру, граница которой не имеет ни одного прямолинейного участка, например, круг или эллипс. Такую фигуру невозможно "сложить" из криволинейных трапеций, так как у последних всегда есть прямые стороны. Поэтому фигура с полностью криволинейной границей не может состоять из криволинейных трапеций.

Следует различать геометрический состав фигуры и метод вычисления ее площади. Хотя площадь круга вычисляется с помощью интегралов (то есть с помощью идеи о криволинейных трапециях), сам круг геометрически из них не состоит.

Ответ: Нет, не может. Поскольку любая криволинейная трапеция по определению имеет в составе своих границ прямолинейные отрезки, любая фигура, составленная из них путем сложения, также будет иметь на своей границе прямолинейные участки. Следовательно, фигура, граница которой полностью криволинейна (например, круг), не может состоять только из криволинейных трапеций.