Номер 39, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

39. 1) $\int_{-2}^{1} 4x^3 dx;$

2) $\int_{-1}^{1} 5x^4 dx;$

3) $\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx;$

4) $\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx.$

1)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-2}^{1} 4x^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4x^3$.

По правилу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$\int_{-2}^{1} 4x^3 dx = [x^4]_{-2}^{1} = (1)^4 - (-2)^4 = 1 - 16 = -15$.

Ответ: -15.

2)

Решение:

Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{1} 5x^4 dx$, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 5x^4$.

$F(x) = \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{1} 5x^4 dx = [x^5]_{-1}^{1} = (1)^5 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

3)

Решение:

Вычислим определенный интеграл $\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{x^2}{5}$.

$F(x) = \int \frac{x^2}{5} dx = \frac{1}{5} \int x^2 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{15}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx = [\frac{x^3}{15}]_{1}^{3} = \frac{3^3}{15} - \frac{1^3}{15} = \frac{27}{15} - \frac{1}{15} = \frac{26}{15}$.

Ответ: $\frac{26}{15}$.

4)

Решение:

Вычислим определенный интеграл $\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{x^3}{2}$.

$F(x) = \int \frac{x^3}{2} dx = \frac{1}{2} \int x^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{8}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx = [\frac{x^4}{8}]_{-2}^{1} = \frac{1^4}{8} - \frac{(-2)^4}{8} = \frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $-\frac{15}{8}$.