Номер 34, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

34. 1) $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $x=-\frac{3}{4}$, $x=1$, $y=0$;

2) $y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y=0$, $x=0$, $x=-3.$

34. 1)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $x = -\frac{3}{4}$, $x = 1$, $y = 0$.

Найти:

Площадь S фигуры.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, пределы интегрирования $a = -\frac{3}{4}$ и $b = 1$. Функция $f(x)$ является непрерывной и неотрицательной на отрезке $[-\frac{3}{4}, 1]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-3/4}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \,dx$

Перепишем подынтегральное выражение в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-1/2}$.

Найдем первообразную для функции $(x+1)^{-1/2}$. Используем формулу $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int (x+1)^{-1/2} \,dx = \frac{(x+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x+1}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. 2\sqrt{x+1} \right|_{-3/4}^{1} = 2\sqrt{1+1} - 2\sqrt{-\frac{3}{4}+1} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2}-1$

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -3$.

Найти:

Площадь S фигуры.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по той же формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, пределы интегрирования $a = -3$ и $b = 0$. Функция $f(x)$ является непрерывной и неотрицательной на отрезке $[-3, 0]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-3}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x}} \,dx$

Перепишем подынтегральное выражение: $\frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-1/2}$.

Найдем первообразную. Для этого можно сделать замену $u = 1-x$, тогда $du = -dx$.

$\int (1-x)^{-1/2} \,dx = \int u^{-1/2} (-du) = -\int u^{-1/2} \,du = - \frac{u^{1/2}}{1/2} = -2\sqrt{u} = -2\sqrt{1-x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -2\sqrt{1-x} \right|_{-3}^{0} = (-2\sqrt{1-0}) - (-2\sqrt{1-(-3)}) = -2\sqrt{1} - (-2\sqrt{1+3}) = -2 \cdot 1 - (-2\sqrt{4}) = -2 - (-2 \cdot 2) = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2$.

Ответ: $2$