Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

34. 1) $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $x=-\frac{3}{4}$, $x=1$, $y=0$;

2) $y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y=0$, $x=0$, $x=-3.$

34. 1)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $x = -\frac{3}{4}$, $x = 1$, $y = 0$.

Найти:

Площадь S фигуры.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, пределы интегрирования $a = -\frac{3}{4}$ и $b = 1$. Функция $f(x)$ является непрерывной и неотрицательной на отрезке $[-\frac{3}{4}, 1]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-3/4}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} \,dx$

Перепишем подынтегральное выражение в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-1/2}$.

Найдем первообразную для функции $(x+1)^{-1/2}$. Используем формулу $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int (x+1)^{-1/2} \,dx = \frac{(x+1)^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x+1}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. 2\sqrt{x+1} \right|_{-3/4}^{1} = 2\sqrt{1+1} - 2\sqrt{-\frac{3}{4}+1} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2}-1$

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -3$.

Найти:

Площадь S фигуры.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по той же формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, пределы интегрирования $a = -3$ и $b = 0$. Функция $f(x)$ является непрерывной и неотрицательной на отрезке $[-3, 0]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-3}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x}} \,dx$

Перепишем подынтегральное выражение: $\frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-1/2}$.

Найдем первообразную. Для этого можно сделать замену $u = 1-x$, тогда $du = -dx$.

$\int (1-x)^{-1/2} \,dx = \int u^{-1/2} (-du) = -\int u^{-1/2} \,du = - \frac{u^{1/2}}{1/2} = -2\sqrt{u} = -2\sqrt{1-x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -2\sqrt{1-x} \right|_{-3}^{0} = (-2\sqrt{1-0}) - (-2\sqrt{1-(-3)}) = -2\sqrt{1} - (-2\sqrt{1+3}) = -2 \cdot 1 - (-2\sqrt{4}) = -2 - (-2 \cdot 2) = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2$.

Ответ: $2$

Вычислите площадь фигуры, ограниченной на отрезках $[a; b]$ и $[b; c]$ соответственно графиками функций $f(x)$ и $g(x)$ и осью $Ox$ (35–36):

35. 1) $f(x) = -x^2 + 2x$, $[0; 1]$ и $g(x) = 1,5 - 0,5x$, $[1; 3];$

2) $f(x) = x$, $[0; 1]$ и $g(x) = x^2 - 4x + 4$, $[1; 2].$

1) Дано:

Функция $f(x) = -x^2 + 2x$ на отрезке $[0; 1]$.

Функция $g(x) = 1,5 - 0,5x$ на отрезке $[1; 3]$.

Найти:

Площадь фигуры $S$, ограниченной на отрезках $[0; 1]$ и $[1; 3]$ соответственно графиками функций $f(x)$, $g(x)$ и осью Ox.

Решение:

Площадь искомой фигуры $S$ равна сумме площадей двух фигур. Первая фигура ($S_1$) ограничена графиком функции $f(x)$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=1$. Вторая фигура ($S_2$) ограничена графиком функции $g(x)$, осью Ox и прямыми $x=1$ и $x=3$.

Общая площадь вычисляется как сумма двух определенных интегралов:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{3} g(x)dx$.

Прежде чем вычислять интегралы, убедимся, что функции неотрицательны на своих отрезках, чтобы интеграл соответствовал площади.

Для функции $f(x) = -x^2 + 2x = -x(x-2)$: это парабола с ветвями, направленными вниз, и корнями в точках $x=0$ и $x=2$. Следовательно, на отрезке $[0; 1]$ функция $f(x) \ge 0$.

Для функции $g(x) = 1,5 - 0,5x$: это убывающая прямая. В точке $x=1$ значение $g(1) = 1,5 - 0,5 \cdot 1 = 1 > 0$. В точке $x=3$ значение $g(3) = 1,5 - 0,5 \cdot 3 = 0$. Следовательно, на отрезке $[1; 3]$ функция $g(x) \ge 0$.

Теперь вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x)dx = \left(-\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} = \left(-\frac{x^3}{3} + x^2\right) \bigg|_{0}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} + 1^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 0^2\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Вычислим площадь $S_2$:

$S_2 = \int_{1}^{3} (1,5 - 0,5x)dx = \left(1,5x - 0,5\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{1}^{3} = \left(1,5x - 0,25x^2\right) \bigg|_{1}^{3} = (1,5 \cdot 3 - 0,25 \cdot 3^2) - (1,5 \cdot 1 - 0,25 \cdot 1^2) = (4,5 - 2,25) - (1,5 - 0,25) = 2,25 - 1,25 = 1$.

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.

Ответ: $S = \frac{5}{3}$ кв. ед.

2) Дано:

Функция $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$.

Функция $g(x) = x^2 - 4x + 4$ на отрезке $[1; 2]$.

Найти:

Площадь фигуры $S$, ограниченной на отрезках $[0; 1]$ и $[1; 2]$ соответственно графиками функций $f(x)$, $g(x)$ и осью Ox.

Решение:

Площадь искомой фигуры $S$ равна сумме площадей двух фигур: $S_1$ на отрезке $[0; 1]$ под графиком $f(x)$ и $S_2$ на отрезке $[1; 2]$ под графиком $g(x)$.

Общая площадь вычисляется по формуле:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{2} g(x)dx$.

Проверим знак функций на заданных отрезках.

Функция $f(x) = x$ неотрицательна на отрезке $[0; 1]$.

Функция $g(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Так как это полный квадрат, функция $g(x) \ge 0$ при любых значениях $x$, в том числе и на отрезке $[1; 2]$.

Вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \int_{0}^{1} x dx = \left(\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$.

Вычислим площадь $S_2$:

$S_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 4)dx = \left(\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 4x\right) \bigg|_{1}^{2} = \left(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x\right) \bigg|_{1}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1\right) = \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - \left(\frac{1}{3} - 2 + 4\right) = \frac{8}{3} - \left(\frac{1}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$.

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $S = \frac{5}{6}$ кв. ед.

36. 1) $f(x) = 0,5x + 1,5$, $[-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 - 2x$, $[-1; 0];$

2) $f(x) = x^2 + 4x + 4$, $[-2; -1]$ и $g(x) = -x$, $[-1; 0].$

1)

Данная задача заключается в анализе и построении графика кусочно-заданной функции. Функция определена двумя выражениями на двух последовательных интервалах.

Первая часть графика задана линейной функцией $f(x) = 0,5x + 1,5$ на отрезке $[-3; -1]$. Графиком этой функции является отрезок прямой. Для его построения найдем координаты конечных точек.

При $x = -3$ значение функции равно: $f(-3) = 0,5 \cdot (-3) + 1,5 = -1,5 + 1,5 = 0$. Это точка с координатами $(-3, 0)$.

При $x = -1$ значение функции равно: $f(-1) = 0,5 \cdot (-1) + 1,5 = -0,5 + 1,5 = 1$. Это точка с координатами $(-1, 1)$.

Следовательно, первая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(-1, 1)$.

Вторая часть графика задана квадратичной функцией $g(x) = -x^2 - 2x$ на отрезке $[-1; 0]$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:

$x_v = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = 2 / (-2) = -1$.

Ордината вершины: $g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$. Эта точка является также концом первого отрезка, что означает, что график функции непрерывен в точке $x = -1$.

Теперь найдем значение функции на правом конце отрезка, при $x = 0$:

$g(0) = -0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Это точка с координатами $(0, 0)$.

Таким образом, вторая часть графика — это дуга параболы, идущая от её вершины в точке $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$.

График всей функции представлен ниже:

Ответ: График функции является непрерывной линией, состоящей из отрезка прямой, соединяющего точки $(-3, 0)$ и $(-1, 1)$, и следующей за ним дуги параболы с вершиной в точке $(-1, 1)$ и проходящей через точку $(0, 0)$.

2)

В этой задаче также требуется построить график кусочно-заданной функции.

Первая часть задана квадратичной функцией $f(x) = x^2 + 4x + 4$ на отрезке $[-2; -1]$. Это выражение является полным квадратом: $f(x) = (x + 2)^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Найдём координаты вершины параболы: $x_v = -4 / (2 \cdot 1) = -2$.

Ордината вершины: $f(-2) = (-2 + 2)^2 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, которая является левой границей данного отрезка.

Вычислим значение функции на правой границе отрезка, при $x = -1$:

$f(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1$. Это точка $(-1, 1)$.

Таким образом, первая часть графика — это дуга параболы, идущая от её вершины в точке $(-2, 0)$ до точки $(-1, 1)$.

Вторая часть графика задана линейной функцией $g(x) = -x$ на отрезке $[-1; 0]$. Её график — отрезок прямой.

Найдем значения функции на концах этого отрезка:

При $x = -1$: $g(-1) = -(-1) = 1$. Это точка $(-1, 1)$, которая совпадает с конечной точкой первой части графика. Следовательно, функция непрерывна в $x = -1$.

При $x = 0$: $g(0) = -0 = 0$. Это точка $(0, 0)$.

Вторая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$.

График всей функции представлен ниже:

Ответ: График функции является непрерывной линией, которая состоит из дуги параболы с вершиной в точке $(-2, 0)$, доходящей до точки $(-1, 1)$, и отрезка прямой, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$.