Страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

3. Какой должна быть функция $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

Основное отличие между обычной (или евклидовой) трапецией и криволинейной трапецией заключается в форме их границ.

Трапеция в геометрии — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). Важно, что все четыре стороны трапеции являются прямыми линиями (отрезками).

Криволинейная трапеция — это фигура на координатной плоскости, ограниченная:

• осью абсцисс ($Ox$);
• двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$;
• графиком непрерывной функции $y=f(x)$, где $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a; b]$.

Ответ: Главное отличие в том, что у обычной трапеции все четыре стороны — это прямые отрезки, а у криволинейной трапеции одна из сторон является кривой линией, заданной графиком функции.

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

Нет, вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью стандартных формул из школьного курса геометрии (например, формулы площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$) нельзя. Эти формулы применимы только для многоугольников, то есть фигур, ограниченных прямыми линиями.

Поскольку у криволинейной трапеции одна из границ является кривой, для нахождения её точной площади требуется метод, который может учитывать эту кривизну. Таким методом является интегрирование. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью $Ox$, и с боков — прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определённого интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Этот интеграл представляет собой предел суммы площадей бесконечного числа бесконечно узких прямоугольников, на которые мысленно разбивается фигура.

Ответ: Нет, площадь криволинейной трапеции нельзя вычислить с помощью известных формул из геометрии, так как они предназначены для фигур с прямолинейными сторонами. Для вычисления ее площади используется определенный интеграл.

3. Какой должна быть функция y = f(x) на отрезке [a; b]?

Для того чтобы можно было определить криволинейную трапецию в её классическом виде и вычислить её площадь с помощью определённого интеграла, функция $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна удовлетворять двум основным условиям:

1. Непрерывность. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на всём отрезке $[a; b]$. Это означает, что её график на этом отрезке является сплошной линией без разрывов, скачков или проколов. Непрерывность функции является достаточным условием для её интегрируемости на отрезке.

2. Неотрицательность. Функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a; b]$, то есть $f(x) \geq 0$ для всех $x$ из $[a; b]$. Это условие гарантирует, что график функции находится выше или на оси абсцисс. В этом случае значение определённого интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ геометрически совпадает с площадью соответствующей криволинейной трапеции. Если функция принимает отрицательные значения, интеграл будет вычислять "знаковую" площадь, где участки под осью $Ox$ вносят отрицательный вклад.

Ответ: Для классического определения криволинейной трапеции и вычисления ее площади через интеграл, функция $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна быть непрерывной и неотрицательной ($f(x) \geq 0$).

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (27– 29):

27.1) $y = x^2 + 1$, $y=0$, $x=0$, $x=1$;

2) $y = x^2 - 1$, $y=0$, $x=2$, $x=3$.

1) y = x² + 1, y = 0, x = 0, x = 1;

Дано:

Криволинейная трапеция ограничена линиями: $y = x^2 + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$, $x = 1$.

Найти:

Площадь $S$ криволинейной трапеции.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции $y = f(x)$, снизу осью абсцисс $y=0$, и с боков прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В нашем случае, функция $f(x) = x^2 + 1$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$.

Функция $f(x) = x^2 + 1$ является неотрицательной на отрезке $[0, 1]$, так как для любого $x$, $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_0^1 (x^2 + 1) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Таким образом, искомая площадь равна $\frac{4}{3}$ кв. ед.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$

2) y = x² - 1, y = 0, x = 2, x = 3.

Дано:

Криволинейная трапеция ограничена линиями: $y = x^2 - 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 2$, $x = 3$.

Найти:

Площадь $S$ криволинейной трапеции.

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, площадь криволинейной трапеции находится по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

Здесь $f(x) = x^2 - 1$, $a = 2$, $b = 3$.

Проверим, что функция $f(x) = x^2 - 1$ неотрицательна на отрезке $[2, 3]$. Для любого $x \in [2, 3]$, имеем $x^2 \ge 4$, следовательно $x^2 - 1 \ge 3 > 0$. Функция положительна на всем отрезке интегрирования.

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \int_2^3 (x^2 - 1) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \bigg|_2^3 = \left( \frac{3^3}{3} - 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) = (9 - 3) - \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18 - 2}{3} = \frac{16}{3}$.

Искомая площадь составляет $\frac{16}{3}$ или $5\frac{1}{3}$ кв. ед.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$

28. 1) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

2) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

1)

Дано:
Фигура ограничена линиями: $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

Найти:
Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:
Фигура, площадь которой необходимо найти, является криволинейной трапецией. Она ограничена сверху графиком функции $y = \cos x$, снизу — осью абсцисс ($y = 0$), а слева и справа — вертикальными прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ является неотрицательной ($\cos x \ge 0$). Следовательно, площадь фигуры можно вычислить как определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$
Первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$. Вычисляем интеграл:
$S = [\sin x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Используем известные значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, откуда $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значения:
$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ (кв. ед.).

Ответ: $S = \sqrt{2}$.

2)

Дано:
Фигура ограничена линиями: $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

Найти:
Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:
Данная фигура также является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = \sin x$, снизу — осью Ox ($y = 0$), слева — прямой $x = \frac{\pi}{3}$, а справа граница совпадает с точкой пересечения графика с осью Ox, $x=\pi$.

На интервале $[\frac{\pi}{3}, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($\sin x \ge 0$), так как этот интервал является частью промежутка $[0, \pi]$, где синус положителен. Площадь вычисляется через определенный интеграл:
$S = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx$
Первообразной для функции $\sin x$ является $-\cos x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$S = [-\cos x]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
Известно, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$S = -(-1) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ (кв. ед.).

Ответ: $S = \frac{3}{2}$.

29.1) $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2;$

2) $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 1.$

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$.

Дано:
Фигура ограничена линиями:
$y = x^3 + 1$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = -1$
$x = 2$

Найти:
Площадь S указанной фигуры.

Решение:
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$
В данном случае $f(x) = x^3 + 1$, $a = -1$, $b = 2$.
Исследуем знак функции $f(x) = x^3 + 1$ на отрезке $[-1, 2]$.
Найдем корень уравнения $x^3 + 1 = 0$:
$x^3 = -1 \implies x = -1$.
На интервале $(-1, 2]$ функция $x^3 > -1$, следовательно $x^3 + 1 > 0$.Таким образом, функция $f(x) = x^3 + 1$ является неотрицательной на всем отрезке интегрирования $[-1, 2]$.
Следовательно, $|f(x)| = f(x)$, и площадь можно вычислить как:
$S = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \,dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$F(x) = \int (x^3 + 1) \,dx = \frac{x^4}{4} + x$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = F(b) - F(a) = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{2} = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} + (-1)\right)$
$S = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - \left(\frac{1}{4} - 1\right) = (4 + 2) - \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$ (кв. ед.)
Ответ: $S = \frac{27}{4}$ кв. ед.

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 1$.

Дано:
Фигура ограничена линиями:
$y = 1 - x^3$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = -2$
$x = 1$

Найти:
Площадь S указанной фигуры.

Решение:
Площадь фигуры вычисляется по формуле определенного интеграла:$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$
В данном случае $f(x) = 1 - x^3$, $a = -2$, $b = 1$.
Исследуем знак функции $f(x) = 1 - x^3$ на отрезке $[-2, 1]$.
Найдем корень уравнения $1 - x^3 = 0$:
$x^3 = 1 \implies x = 1$.
На интервале $[-2, 1)$ справедливо неравенство $x < 1$, следовательно $x^3 < 1$ и $1 - x^3 > 0$.Таким образом, функция $f(x) = 1 - x^3$ является неотрицательной на всем отрезке интегрирования $[-2, 1]$.
Следовательно, $|f(x)| = f(x)$, и площадь можно вычислить как:
$S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) \,dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$F(x) = \int (1 - x^3) \,dx = x - \frac{x^4}{4}$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = F(b) - F(a) = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{1} = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(-2 - \frac{(-2)^4}{4}\right)$
$S = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-2 - \frac{16}{4}\right) = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4} = 6.75$ (кв. ед.)
Ответ: $S = \frac{27}{4}$ кв. ед.