Номер 21, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

21.1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin\left(3 - \frac{x}{4}\right)$;

2) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos\left(2 + \frac{x}{3}\right)$;

3) $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}$;

4) $f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}$.

1)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3 - \frac{x}{4})$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Первообразная функции $f(x)$ находится путем интегрирования. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (\frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3 - \frac{x}{4})) dx = \int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx + \int \sin(3 - \frac{x}{4}) dx$.

Найдем каждую первообразную по отдельности, используя табличные интегралы и правило интегрирования сложной функции $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.

Для первого слагаемого: $\int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx = \int (x+2)^{-1/2} dx$.

Первообразная для степенной функции $x^n$ есть $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Здесь $n = -1/2$, $k=1$.

$\int (x+2)^{-1/2} dx = \frac{(x+2)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_1 = \frac{(x+2)^{1/2}}{1/2} + C_1 = 2\sqrt{x+2} + C_1$.

Для второго слагаемого: $\int \sin(3 - \frac{x}{4}) dx$.

Первообразная для $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$. Здесь $k = -1/4$.

$\int \sin(3 - \frac{x}{4}) dx = \frac{1}{-1/4} (-\cos(3 - \frac{x}{4})) + C_2 = 4\cos(3 - \frac{x}{4}) + C_2$.

Складывая результаты и объединяя константы $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3 - \frac{x}{4}) + C$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3 - \frac{x}{4}) + C$.

2)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2 + \frac{x}{3})$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Найдем первообразную $F(x)$ как интеграл от функции $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2 + \frac{x}{3})) dx = \frac{1}{2}\int (x-5)^{-1/2} dx + \int \cos(2 + \frac{x}{3}) dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Для первого интеграла: $n=-1/2, k=1$.

$\frac{1}{2}\int (x-5)^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \frac{(x-5)^{1/2}}{1/2} + C_1 = \sqrt{x-5} + C_1$.

Для второго интеграла: первообразная для $\cos(x)$ есть $\sin(x)$, $k=1/3$.

$\int \cos(2 + \frac{x}{3}) dx = \frac{1}{1/3} \sin(2 + \frac{x}{3}) + C_2 = 3\sin(2 + \frac{x}{3}) + C_2$.

Суммируя результаты, получаем:

$F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2 + \frac{x}{3}) + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2 + \frac{x}{3}) + C$.

3)

Дано:

$f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Первообразная $F(x)$ является интегралом от $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}) dx = \frac{3}{2} \int (3-4x)^{-1/2} dx + \int (x+2)^{-3} dx$.

Найдем интеграл от первого слагаемого. Здесь $n=-1/2, k=-4$.

$\frac{3}{2} \int (3-4x)^{-1/2} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-4} \frac{(3-4x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_1 = -\frac{3}{8} \frac{(3-4x)^{1/2}}{1/2} + C_1 = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} + C_1$.

Найдем интеграл от второго слагаемого. Здесь $n=-3, k=1$.

$\int (x+2)^{-3} dx = \frac{(x+2)^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{(x+2)^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2(x+2)^2} + C_2$.

Суммируя результаты, получаем общую первообразную:

$F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

4)

Дано:

$f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Первообразная $F(x)$ является интегралом от $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}) dx = \frac{4}{5} \int (2+3x)^{-1/2} dx - \int (2-x)^{-4} dx$.

Найдем интеграл от первого слагаемого. Здесь $n=-1/2, k=3$.

$\frac{4}{5} \int (2+3x)^{-1/2} dx = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \frac{(2+3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_1 = \frac{4}{15} \frac{(2+3x)^{1/2}}{1/2} + C_1 = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} + C_1$.

Найдем интеграл от второго слагаемого. Здесь $n=-4, k=-1$.

$\int (2-x)^{-4} dx = \frac{1}{-1} \frac{(2-x)^{-4+1}}{-4+1} + C_2 = - \frac{(2-x)^{-3}}{-3} + C_2 = \frac{1}{3(2-x)^3} + C_2$.

Вычитая вторую первообразную из первой, получаем:

$F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.