Номер 17, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите неопределенный интеграл (17–18):

17.1) $\int \left(0,75x^2 + \frac{x^9}{9}\right) dx;$

2) $\int \left(\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4\right) dx;$

3) $\int \left(\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11}\right) dx;$

4) $\int \left(15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}}\right) dx.$

1) $\int{\left(0,75x^2 + \frac{x^9}{9}\right)dx}$

Решение:
Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством аддитивности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и вынесем постоянные множители за знак интеграла: $$ \int{\left(0,75x^2 + \frac{x^9}{9}\right)dx} = \int{0,75x^2 dx} + \int{\frac{x^9}{9}dx} = 0,75\int{x^2 dx} + \frac{1}{9}\int{x^9 dx} $$ Теперь применим табличную формулу для интегрирования степенной функции $\int{x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$ 0,75 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{9+1}}{9+1} + C = 0,75 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{10}}{10} + C $$ Упростим полученное выражение: $$ 0,25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C $$ Можно также представить $0,75$ как $\frac{3}{4}$, тогда $0,75 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{4}$.
Ответ: $0,25x^3 + \frac{x^{10}}{90} + C$.

2) $\int{\left(\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4\right)dx}$

Решение:
Используя свойство аддитивности интеграла и вынося константы, получаем: $$ \int{\left(\frac{x^{-7}}{6} - 1,25x^4\right)dx} = \int{\frac{x^{-7}}{6}dx} - \int{1,25x^4 dx} = \frac{1}{6}\int{x^{-7}dx} - 1,25\int{x^4 dx} $$ Применяем формулу для интегрирования степенной функции $\int{x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$ \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1} - 1,25 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{-6}}{-6} - 1,25 \cdot \frac{x^5}{5} + C $$ Упрощаем выражение: $$ -\frac{x^{-6}}{36} - 0,25x^5 + C $$
Ответ: $-\frac{x^{-6}}{36} - 0,25x^5 + C$.

3) $\int{\left(\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11}\right)dx}$

Решение:
Разобьем интеграл на два и вынесем константы: $$ \int{\left(\frac{10}{\sqrt{5+2x}} - 3x^{-11}\right)dx} = 10\int{(5+2x)^{-\frac{1}{2}}dx} - 3\int{x^{-11}dx} $$ Первый интеграл $\int{(5+2x)^{-\frac{1}{2}}dx}$ решается методом замены переменной. Пусть $t = 5+2x$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$. $$ 10\int{t^{-\frac{1}{2}}\frac{dt}{2}} = 5\int{t^{-\frac{1}{2}}dt} = 5 \cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 10t^{\frac{1}{2}} + C_1 = 10\sqrt{5+2x} + C_1 $$ Второй интеграл $\int{x^{-11}dx}$ является табличным: $$ -3\int{x^{-11}dx} = -3 \cdot \frac{x^{-11+1}}{-11+1} + C_2 = -3 \cdot \frac{x^{-10}}{-10} + C_2 = \frac{3}{10}x^{-10} + C_2 = 0,3x^{-10} + C_2 $$ Объединяя результаты, получаем: $$ 10\sqrt{5+2x} + 0,3x^{-10} + C $$ где $C = C_1 + C_2$.
Ответ: $10\sqrt{5+2x} + 0,3x^{-10} + C$.

4) $\int{\left(15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}}\right)dx}$

Решение:
Разобьем интеграл на два и вынесем константы: $$ \int{\left(15x^{24} - \frac{28}{\sqrt{6-7x}}\right)dx} = 15\int{x^{24}dx} - 28\int{(6-7x)^{-\frac{1}{2}}dx} $$ Первый интеграл $\int{x^{24}dx}$ является табличным: $$ 15\int{x^{24}dx} = 15 \cdot \frac{x^{24+1}}{24+1} + C_1 = 15 \cdot \frac{x^{25}}{25} + C_1 = \frac{3}{5}x^{25} + C_1 = 0,6x^{25} + C_1 $$ Второй интеграл $\int{(6-7x)^{-\frac{1}{2}}dx}$ решается методом замены переменной. Пусть $t = 6-7x$, тогда $dt = -7dx$, откуда $dx = \frac{dt}{-7}$. $$ -28\int{t^{-\frac{1}{2}}\frac{dt}{-7}} = 4\int{t^{-\frac{1}{2}}dt} = 4 \cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_2 = 4 \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 8t^{\frac{1}{2}} + C_2 = 8\sqrt{6-7x} + C_2 $$ Объединяя результаты, получаем: $$ 0,6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C $$ где $C = C_1 + C_2$.
Ответ: $0,6x^{25} + 8\sqrt{6-7x} + C$.