Номер 208, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

208. Исследуйте функцию $y = x + \ln x$ и постройте ее график.

1. Область определения функции

Функция $y = x + \ln x$ состоит из двух слагаемых: $x$ и $\ln x$. Функция $x$ определена для всех действительных чисел. Натуральный логарифм $\ln x$ определен только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$. Следовательно, область определения всей функции есть пересечение областей определения ее слагаемых, то есть $x > 0$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Область определения функции $D(y) = (0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, так как не включает отрицательные значения $x$. Поэтому функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Периодичность

Функция не является периодической, так как содержит непериодические слагаемые $x$ (линейная функция) и $\ln x$ (логарифмическая функция).

Ответ: Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY: для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY) нужно подставить $x=0$ в уравнение функции. Однако $x=0$ не входит в область определения функции. Следовательно, график функции не пересекает ось OY.
Пересечение с осью OX: для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (OX) нужно решить уравнение $y=0$, то есть $x + \ln x = 0$. Это трансцендентное уравнение. Решим его приближенно. Рассмотрим функцию $f(x) = x + \ln x$. Ее производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$ положительна на всей области определения $(0, +\infty)$. Это значит, что функция строго возрастает. Поскольку $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ и, например, $f(1) = 1 > 0$, существует единственный корень уравнения. Подбором находим, что корень $x_0$ лежит в интервале $(0.5, 0.6)$, так как $f(0.5) \approx 0.5 - 0.69 = -0.19 < 0$ и $f(0.6) \approx 0.6 - 0.51 = 0.09 > 0$. Приближенно $x_0 \approx 0.57$.

Ответ: График не пересекает ось OY. График пересекает ось OX в одной точке $(x_0, 0)$, где $x_0 \approx 0.57$.

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты: вертикальные асимптоты могут существовать на границах области определения. Проверим поведение функции при $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} (x + \ln x) = 0 + (-\infty) = -\infty$. Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты: наклонные асимптоты ищутся в виде $y = kx + b$ при $x \to +\infty$. Коэффициент $k$ находится как $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{\ln x}{x})$. Используя правило Лопиталя для предела $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$, получаем $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$. Таким образом, $k = 1 + 0 = 1$. Теперь найдем $b$: $b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x + \ln x - 1 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$. Так как предел для $b$ бесконечен, наклонных (и горизонтальных) асимптот у графика функции нет.

Ответ: Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

6. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции: $y' = (x + \ln x)' = 1 + \frac{1}{x}$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $1 + \frac{1}{x} = 0 \implies x = -1$. Эта точка не входит в область определения $D(y) = (0, +\infty)$. Производная существует на всей области определения. Определим знак производной на $D(y)$: для любого $x > 0$, слагаемое $\frac{1}{x} > 0$, поэтому $y' = 1 + \frac{1}{x} > 1 > 0$. Поскольку производная всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Функция возрастает на интервале $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции: $y'' = (1 + \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$. Вторая производная нигде не обращается в ноль на области определения. Определим ее знак на $D(y) = (0, +\infty)$. Для любого $x > 0$, $x^2 > 0$, следовательно $y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$. Поскольку вторая производная всегда отрицательна, график функции является выпуклым вверх (вогнутым) на всей области определения.

Ответ: Функция выпукла вверх (вогнута) на интервале $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

8. Построение графика

На основе проведенного исследования, соберем данные для построения графика:
- Область определения: $(0, +\infty)$.
- Вертикальная асимптота $x=0$.
- Пересечение с осью OX в точке $(\approx 0.57, 0)$.
- Функция всегда возрастает и всегда выпукла вверх.
- Контрольные точки: $(1/e, 1/e-1) \approx (0.37, -0.63)$; $(1, 1)$; $(e, e+1) \approx (2.72, 3.72)$.

График функции представлен ниже.

Ответ: График функции $y=x+\ln x$ построен на основе анализа и представлен на рисунке.