Номер 210, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

210. Вычислите интеграл:

1) $\int_0^{\ln2} e^{2x} dx$;

2) $\int_0^{\log_3 2} 3^{0,5x} dx$.

1)Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Найдем первообразную для функции $ f(x) = e^{2x} $.
$ F(x) = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} $.
Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:
$ \int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx = \left. \frac{1}{2}e^{2x} \right|_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot \ln 2} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} $.
Используем свойства логарифма $ n \ln a = \ln a^n $ и экспоненты $ e^{\ln a} = a $:
$ e^{2\ln 2} = e^{\ln 2^2} = e^{\ln 4} = 4 $.
Также, любое число в степени 0 равно 1:
$ e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1 $.
Подставим полученные значения в выражение:
$ \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $.
Ответ: $1.5$.

2)Вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx $.
Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = 3^{0.5x} $. Используем формулу интегрирования показательной функции $ \int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} $.
$ F(x) = \int 3^{0.5x} dx = \frac{3^{0.5x}}{0.5 \ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx = \left. \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} \right|_{0}^{\log_3 2} = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot \log_3 2}}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} $.
Упростим выражение в показателе степени, используя свойство логарифма $ k \log_a b = \log_a b^k $:
$ 0.5 \log_3 2 = \log_3 2^{0.5} = \log_3 \sqrt{2} $.
Теперь используем основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $:
$ 3^{0.5 \log_3 2} = 3^{\log_3 \sqrt{2}} = \sqrt{2} $.
Для второго слагаемого:
$ 3^{0.5 \cdot 0} = 3^0 = 1 $.
Подставим значения в выражение и упростим:
$ \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{\ln 3} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\ln 3} $.
Ответ: $ \frac{2(\sqrt{2}-1)}{\ln 3} $.