Проверь себя, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ !

1. Найдите область определения функции $y = \frac{x-3}{125 - 5^x}$:

A. R; B. Z; C. $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty);$ D. $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty).$

2. Вычислите $\log_{12} \left( \frac{49}{9} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2 \right)$:

A. 12; B. 0; C. 1; D. 144.

3. Найдите область определения функции $y = \log_{5,3} (6 - 5x) + 10$:

A. $(-\infty; 1,2];$ B. $(-\infty; -1,2);$ C. $(1,2; +\infty);$ D. $(-\infty; 1,2).$

4. Расположите числа $\frac{1}{3}$; 27; $3^{-3}$; 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$ в порядке убывания:

A. $\frac{1}{3}$; 27; $3^{-3}$; 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^2;$ B. $\frac{1}{3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $3^{-3}$; 1; 27;

C. $3^{-3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $\frac{1}{3}$; 1; 27; D. 1; $3^{-3}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^2$; $\frac{1}{3}$; 27.

5. Если $\log_7 5 = a$ и $\log_7 13 = b$, то найдите значения выражения $\log_{65} 25$:

A. $\frac{2b}{a+b}$; B. $\frac{a+b}{2b}$; C. $\frac{2a}{a+b}$; D. $\frac{a+b}{b}$.

6. На каком из рисунков изображен график функции $y = -2^x + 1$?

A.

B.

C.

D.

7. Вычислите значение выражения $27^{\log_3 2} + 28$:

A. 12; B. 18; C. 36; D. 3.

8. Найдите область определения функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$:

A. $(-\infty; -4] \cup (0,5; +\infty);$ B. $(-4; 0,5);$ C. $(-\infty; -4) \cup (0,5; +\infty);$ D. $[-4; 0,5].$

9. Вычислите значение производной функции $y = \log_3 (\sin 3x)$ в точке $x = \frac{\pi}{18}$:

A. $\frac{3}{\ln 3}$; B. $\frac{\sqrt{3}}{\ln 3}$; C. $\frac{1}{\sqrt{3} \ln 3}$; D. $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$.

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6x e^x$ на отрезке $[1; 2]$:

A. 6; 12; B. $6e^2$; $12e$; C. $6e$; $12e$; D. $12e^2$; $6e$.

11. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = xe^{4x}$ в точке с абсциссой $x = 1$:

A. $5e^4x - 5e^4$; B. $5e^4x$; C. $5e^4x - 4e^4$; D. $4e^4x - 5e^4$.

12. Вычислите интеграл $\int_1^3 \left( \frac{2}{x^2} - 4x \right) dx$:

A. $2 \ln 3 - \frac{68}{\ln 4}$; B. $2 \ln 3 + \frac{64}{\ln 4}$; C. $2 \ln 3 - \frac{60}{\ln 4}$; D. $2 \ln 3 - \frac{64}{\ln 3}$.

13. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = 2^x$, $y = 1$, $x = 2$:

A. $2 \ln 2 - 2$; B. $\frac{3}{\ln 2} - 2$; C. $4 \ln 2 - 2$; D. $\ln 2 - 2$.

1. Решение:

Область определения функции $y = \frac{x-3}{125-5^{3x}}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$125 - 5^{3x} = 0$

$5^{3x} = 125$

Поскольку $125 = 5^3$, получаем:

$5^{3x} = 5^3$

Приравнивая показатели степени, имеем:

$3x = 3$

$x = 1$

Таким образом, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции - это все действительные числа, кроме $x=1$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: C. $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Дано:

Выражение $\log_{12} \left( \frac{49}{9} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2 \right)$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках (аргумент логарифма):

$\left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{49}{9} \cdot \frac{9}{49} = 1$

Таким образом, нам нужно вычислить $\log_{12}(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю, так как $a^0 = 1$.

$\log_{12}(1) = 0$

Ответ: B. 0.

3. Решение:

Область определения логарифмической функции $\log_a(b)$ определяется условием $b > 0$.

В данном случае функция $y = \log_{5.3}(6-5x) + 10$, поэтому аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$6 - 5x > 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$6 > 5x$

$x < \frac{6}{5}$

$x < 1.2$

Область определения функции - это интервал $(-\infty; 1.2)$.

Ответ: D. $(-\infty; 1.2)$.

4. Решение:

Чтобы расположить числа в порядке убывания, приведем их к одному виду, например, к степеням числа 3 или к десятичным дробям.

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$27 = 3^3$
$3^{-3} = \frac{1}{27}$
$1 = 3^0$
$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Функция $y=3^x$ является возрастающей, так как основание $3 > 1$. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени. Расположим показатели в порядке убывания:

$3; 0; -1; -2; -3$

Соответствующий порядок чисел будет:

$3^3; 3^0; 3^{-1}; 3^{-2}; 3^{-3}$

В исходном виде это:

$27; 1; \frac{1}{3}; \left(\frac{1}{3}\right)^2; 3^{-3}$

Этот порядок не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Однако, вариант C представляет собой числа, расположенные в порядке возрастания: $3^{-3}; \left(\frac{1}{3}\right)^2; \frac{1}{3}; 1; 27$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось расположить числа в порядке возрастания.

Ответ: C. $3^{-3}; \left(\frac{1}{3}\right)^2; \frac{1}{3}; 1; 27$.

5. Дано:

$\log_7 5 = a$

$\log_7 13 = b$

Найти:

Значение выражения $\log_{65} 25$ через $a$ и $b$.

Решение:

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_c d = \frac{\log_k d}{\log_k c}$. Перейдем к основанию 7:

$\log_{65} 25 = \frac{\log_7 25}{\log_7 65}$

Преобразуем числитель, используя свойство логарифма степени $\log_k(d^p) = p \log_k d$:

$\log_7 25 = \log_7 (5^2) = 2 \log_7 5 = 2a$

Преобразуем знаменатель, используя свойство логарифма произведения $\log_k(cd) = \log_k c + \log_k d$:

$\log_7 65 = \log_7 (5 \cdot 13) = \log_7 5 + \log_7 13 = a + b$

Подставим полученные выражения в формулу:

$\log_{65} 25 = \frac{2a}{a+b}$

Ответ: C. $\frac{2a}{a+b}$.

6. Решение:

Проанализируем функцию $y = -2^x + 1$. Ее график можно получить из графика базовой показательной функции $y = 2^x$ с помощью преобразований.

1. График $y = 2^x$ — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

2. График $y = -2^x$ — результат симметричного отражения графика $y = 2^x$ относительно оси Ox. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(0, -1)$, асимптота $y=0$ сохраняется.

3. График $y = -2^x + 1$ — результат сдвига графика $y = -2^x$ на 1 единицу вверх.

• Точка $(0, -1)$ смещается в $(0, 0)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=1$.
• Функция остается убывающей.

Таким образом, искомый график — это убывающая кривая, проходящая через начало координат и приближающаяся к прямой $y=1$ при $x \to -\infty$. Этим условиям соответствует график на рисунке C.

Ответ: C.

7. Дано:

Выражение $27^{\log_3 2} + 28$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Преобразуем первое слагаемое $27^{\log_3 2}$.

Представим основание 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(3^3)^{\log_3 2} = 3^{3\log_3 2}$

Используя свойство логарифма $p \log_k d = \log_k (d^p)$:

$3^{3\log_3 2} = 3^{\log_3 (2^3)} = 3^{\log_3 8}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$3^{\log_3 8} = 8$

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$8 + 28 = 36$

Ответ: C. 36.

8. Решение:

Область определения логарифмической функции $y = \lg \frac{x+4}{2x-1}$ (где $\lg$ - это логарифм по основанию 10) находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$\frac{x+4}{2x-1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

2. Найдем нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$.

3. Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0.5)$, $(0.5, +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{2(-5)-1} = \frac{-1}{-11} > 0$. Интервал подходит.
• При $-4 < x < 0.5$ (например, $x=0$): $\frac{0+4}{2(0)-1} = \frac{4}{-1} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x > 0.5$ (например, $x=1$): $\frac{1+4}{2(1)-1} = \frac{5}{1} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения: $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

Ответ: C. $(-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

9. Дано:

Функция $y = \log_3(\sin 3x)$, точка $x = \frac{\pi}{18}$.

Найти:

Значение производной функции в данной точке.

Решение:

Найдем производную функции $y(x)$ используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

$y' = \left(\log_3(\sin 3x)\right)' = \frac{(\sin 3x)'}{(\sin 3x) \cdot \ln 3}$

Теперь найдем производную от $\sin 3x$:

$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$

Подставим это в выражение для $y'$:

$y' = \frac{3\cos(3x)}{(\sin 3x) \cdot \ln 3} = \frac{3}{\ln 3} \cot(3x)$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{18}$:

$y'\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{3}{\ln 3} \cot\left(3 \cdot \frac{\pi}{18}\right) = \frac{3}{\ln 3} \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Значение котангенса: $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Окончательно получаем:

$y'\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{3}{\ln 3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$

Ответ: D. $\frac{3\sqrt{3}}{\ln 3}$.

10. Дано:

Функция $y = 6x e^x$, отрезок $[1; 2]$.

Найти:

Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

Решение:

1. Найдем производную функции, чтобы найти критические точки. Используем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (6x)' e^x + 6x (e^x)' = 6e^x + 6xe^x = 6e^x(1+x)$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$6e^x(1+x) = 0$

Так как $6e^x > 0$ для любого $x$, то $1+x=0$, откуда $x=-1$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку $[1; 2]$. Точка $x=-1$ не принадлежит этому отрезку.

4. Поскольку на отрезке нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах.

5. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x=1$: $y(1) = 6 \cdot 1 \cdot e^1 = 6e$.

При $x=2$: $y(2) = 6 \cdot 2 \cdot e^2 = 12e^2$.

6. Поскольку производная $y' = 6e^x(1+x)$ положительна на отрезке $[1; 2]$, функция на нем возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x=1$, а наибольшее - в точке $x=2$.

Наименьшее значение: $6e$.

Наибольшее значение: $12e^2$.

Ответ: D. $12e^2; 6e$.

11. Дано:

Функция $y=xe^{4x}$, точка с абсциссой $x_0 = 1$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции в данной точке.

Решение:

Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = 1 \cdot e^{4 \cdot 1} = e^4$.

2. Найдем производную функции $f(x)=xe^{4x}$ по правилу произведения:

$f'(x) = (x)'e^{4x} + x(e^{4x})' = 1 \cdot e^{4x} + x \cdot (e^{4x} \cdot 4) = e^{4x}(1+4x)$.

3. Найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0=1$:

$f'(1) = e^{4 \cdot 1}(1+4 \cdot 1) = e^4(5) = 5e^4$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^4 + 5e^4(x-1)$

$y = e^4 + 5e^4x - 5e^4$

$y = 5e^4x - 4e^4$

Ответ: C. $y = 5e^4x - 4e^4$.

12. Дано:

Интеграл $\int_1^3 \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx$.

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Найдем неопределенный интеграл (первообразную) от подынтегральной функции:

$\int \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx = \int \frac{2}{x} dx - \int 4^x dx = 2\ln|x| - \frac{4^x}{\ln 4}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_1^3 \left(\frac{2}{x} - 4^x\right) dx = \left[ 2\ln|x| - \frac{4^x}{\ln 4} \right]_1^3$

$= \left( 2\ln|3| - \frac{4^3}{\ln 4} \right) - \left( 2\ln|1| - \frac{4^1}{\ln 4} \right)$

$= \left( 2\ln 3 - \frac{64}{\ln 4} \right) - \left( 2 \cdot 0 - \frac{4}{\ln 4} \right)$

$= 2\ln 3 - \frac{64}{\ln 4} - \left( - \frac{4}{\ln 4} \right)$

$= 2\ln 3 - \frac{64}{\ln 4} + \frac{4}{\ln 4} = 2\ln 3 - \frac{60}{\ln 4}$

Ответ: C. $2 \ln 3 - \frac{60}{\ln 4}$.

13. Дано:

Фигура, ограниченная линиями $y=2^x$, $y=1$, $x=2$.

Найти:

Площадь этой фигуры.

Решение:

1. Определим границы интегрирования. Линия $y=1$ пересекает кривую $y=2^x$ в точке, где $2^x=1$, то есть при $x=0$. Правая граница задана линией $x=2$. Таким образом, интегрирование будет проводиться по $x$ от 0 до 2.

2. В указанном интервале $[0, 2]$ график $y=2^x$ находится выше графика $y=1$. Поэтому площадь фигуры $S$ можно вычислить как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_0^2 (2^x - 1) dx$

3. Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (2^x - 1) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - x$

4. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} - x \right]_0^2 = \left( \frac{2^2}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{2^0}{\ln 2} - 0 \right)$

$= \left( \frac{4}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} \right)$

$= \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} - 2 = \frac{3}{\ln 2} - 2$

Ответ: B. $\frac{3}{\ln 2} - 2$.