Номер 214, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

214.1)

1) $3^{x+2} - 3^x = 72;$

2) $2^x - 2^{x-4} = 15;$

3) $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159;$

4) $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443.$

1) $3^{x+2} - 3^x = 72$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы переписать член $3^{x+2}$:

$3^x \cdot 3^2 - 3^x = 72$

$9 \cdot 3^x - 3^x = 72$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(9 - 1) = 72$

$3^x \cdot 8 = 72$

Разделим обе части уравнения на 8:

$3^x = \frac{72}{8}$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень числа 3:

$3^x = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x=2$

2) $2^x - 2^{x-4} = 15$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, чтобы переписать член $2^{x-4}$:

$2^x - 2^x \cdot 2^{-4} = 15$

$2^x - \frac{2^x}{2^4} = 15$

$2^x - \frac{2^x}{16} = 15$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 - \frac{1}{16}) = 15$

$2^x(\frac{16-1}{16}) = 15$

$2^x \cdot \frac{15}{16} = 15$

Умножим обе части уравнения на $\frac{16}{15}$:

$2^x = 15 \cdot \frac{16}{15}$

$2^x = 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$2^x = 2^4$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 4$

Ответ: $x=4$

3) $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, чтобы преобразовать левую часть уравнения:

$3^x \cdot 3^{-3} + 3^x \cdot 3^{-2} + 3^x \cdot 3^{-1} = 3159$

$\frac{3^x}{3^3} + \frac{3^x}{3^2} + \frac{3^x}{3^1} = 3159$

$\frac{3^x}{27} + \frac{3^x}{9} + \frac{3^x}{3} = 3159$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(\frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}) = 3159$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 27:

$3^x(\frac{1}{27} + \frac{3}{27} + \frac{9}{27}) = 3159$

$3^x(\frac{1+3+9}{27}) = 3159$

$3^x \cdot \frac{13}{27} = 3159$

Выразим $3^x$:

$3^x = 3159 \cdot \frac{27}{13}$

Разделим 3159 на 13: $3159 \div 13 = 243$.

$3^x = 243 \cdot 27$

Представим числа 243 и 27 как степени числа 3: $243 = 3^5$, $27 = 3^3$.

$3^x = 3^5 \cdot 3^3$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^x = 3^{5+3}$

$3^x = 3^8$

Приравниваем показатели степеней:

$x=8$

Ответ: $x=8$

4) $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443$

Решение

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ для преобразования уравнения:

$2 \cdot (3^x \cdot 3^3) - 5 \cdot (3^x \cdot 3^{-2}) = 1443$

$2 \cdot (3^x \cdot 27) - 5 \cdot (\frac{3^x}{3^2}) = 1443$

$54 \cdot 3^x - \frac{5}{9} \cdot 3^x = 1443$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(54 - \frac{5}{9}) = 1443$

Вычислим выражение в скобках:

$54 - \frac{5}{9} = \frac{54 \cdot 9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{486-5}{9} = \frac{481}{9}$

Подставим результат обратно в уравнение:

$3^x \cdot \frac{481}{9} = 1443$

Выразим $3^x$:

$3^x = 1443 \cdot \frac{9}{481}$

Разделим 1443 на 481: $1443 \div 481 = 3$.

$3^x = 3 \cdot 9$

Представим правую часть как степень числа 3:

$3^x = 3^1 \cdot 3^2$

$3^x = 3^{1+2}$

$3^x = 3^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x=3$

Ответ: $x=3$