Номер 217, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

217.1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$;

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$;

3) $0,6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$;

4) $\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2+2x-11} = \left(\frac{125}{27}\right)^3$.

1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$
Решение:
Это показательное уравнение вида $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где основания $a=5$ и $b=6$ различны ($a \ne b$, $a > 0$, $b > 0$). Такое равенство возможно только в том случае, когда показатель степени равен нулю.
Приравняем показатель степени к нулю и решим полученное уравнение:
$2x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $0; 0.5$.

2) $8 \cdot 7^{x^2 - 5x + 7} = 7 \cdot 8^{x^2 - 5x + 7}$
Решение:
Разделим обе части уравнения на выражение $7 \cdot 7^{x^2 - 5x + 7}$, которое не равно нулю ни при каких значениях $x$.
$\frac{8 \cdot 7^{x^2 - 5x + 7}}{7 \cdot 7^{x^2 - 5x + 7}} = \frac{7 \cdot 8^{x^2 - 5x + 7}}{7 \cdot 7^{x^2 - 5x + 7}}$
$\frac{8}{7} = \frac{8^{x^2 - 5x + 7}}{7^{x^2 - 5x + 7}}$
Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$(\frac{8}{7})^1 = (\frac{8}{7})^{x^2 - 5x + 7}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$1 = x^2 - 5x + 7$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Ответ: $2; 3$.

3) $0.6^x \cdot (\frac{25}{9})^{x^2 - 12} = (\frac{27}{125})^3$
Решение:
Приведем все степени в уравнении к одному основанию. Заметим, что все основания можно выразить через дробь $\frac{3}{5}$ или $\frac{5}{3}$. Выберем основание $\frac{3}{5}$.
$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2 = ((\frac{3}{5})^{-1})^2 = (\frac{3}{5})^{-2}$
$\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(\frac{3}{5})^x \cdot ((\frac{3}{5})^{-2})^{x^2 - 12} = ((\frac{3}{5})^3)^3$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим уравнение:
$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{3}{5})^{-2(x^2 - 12)} = (\frac{3}{5})^{3 \cdot 3}$
$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{3}{5})^{-2x^2 + 24} = (\frac{3}{5})^9$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в левой части:
$(\frac{3}{5})^{x - 2x^2 + 24} = (\frac{3}{5})^9$
Теперь приравняем показатели степеней:
$x - 2x^2 + 24 = 9$
$-2x^2 + x + 15 = 0$
Умножим обе части на $-1$ для удобства:
$2x^2 - x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 11}{4}$
$x_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Ответ: $-2.5; 3$.

4) $(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{9}{25})^{x^2 + 2x - 11} = (\frac{125}{27})^3$
Решение:
Приведем все степени к одному основанию $\frac{5}{3}$.
$\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$
$\frac{125}{27} = (\frac{5}{3})^3$
Перепишем уравнение с новым основанием:
$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot ((\frac{5}{3})^{-2})^{x^2 + 2x - 11} = ((\frac{5}{3})^3)^3$
Упростим, используя свойства степеней:
$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2(x^2 + 2x - 11)} = (\frac{5}{3})^{9}$
$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2x^2 - 4x + 22} = (\frac{5}{3})^9$
Сложим показатели степеней в левой части:
$(\frac{5}{3})^{(x+1) + (-2x^2 - 4x + 22)} = (\frac{5}{3})^9$
$(\frac{5}{3})^{-2x^2 - 3x + 23} = (\frac{5}{3})^9$
Приравняем показатели:
$-2x^2 - 3x + 23 = 9$
$-2x^2 - 3x + 14 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$2x^2 + 3x - 14 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 11}{4}$
$x_1 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$
Ответ: $-3.5; 2$.