Номер 223, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

223. 1) $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4;$

2) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1};$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0.$

1)

Решение:

Исходное уравнение: $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$.

Преобразуем степени, используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{5^x}{5^3} - \frac{5^x}{5^4} = 16 \cdot \frac{5^x}{5^5} + 4$

$\frac{5^x}{125} - \frac{5^x}{625} = \frac{16 \cdot 5^x}{3125} + 4$

Перенесем все слагаемые с $5^x$ в левую часть:

$\frac{5^x}{125} - \frac{5^x}{625} - \frac{16 \cdot 5^x}{3125} = 4$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \left( \frac{1}{125} - \frac{1}{625} - \frac{16}{3125} \right) = 4$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 3125:

$5^x \left( \frac{1 \cdot 25}{125 \cdot 25} - \frac{1 \cdot 5}{625 \cdot 5} - \frac{16}{3125} \right) = 4$

$5^x \left( \frac{25}{3125} - \frac{5}{3125} - \frac{16}{3125} \right) = 4$

$5^x \left( \frac{25 - 5 - 16}{3125} \right) = 4$

$5^x \left( \frac{4}{3125} \right) = 4$

Разделим обе части уравнения на $\frac{4}{3125}$:

$5^x = 4 \cdot \frac{3125}{4}$

$5^x = 3125$

Представим 3125 как степень числа 5:

$3125 = 5^5$

Следовательно, $5^x = 5^5$.

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

2)

Решение:

Исходное уравнение: $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}$.

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2} = \frac{4^x}{2}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$4^x + 2^{2x-1} = 3^{x+0,5} + 3^{x-0,5}$

$4^x + \frac{4^x}{2} = 3^x \cdot 3^{0,5} + 3^x \cdot 3^{-0,5}$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$4^x \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = 3^x \left( 3^{0,5} + 3^{-0,5} \right)$

$4^x \left( \frac{3}{2} \right) = 3^x \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

Упростим выражение в скобках справа:

$\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Получаем уравнение:

$4^x \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

Разделим обе части на $3^x$ (так как $3^x > 0$) и умножим на $\frac{2}{3}$:

$\frac{4^x}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$

$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{4}{3}$.

Заметим, что $8=2^3$ и $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2} = (\sqrt{3})^3$.

$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

Также заметим, что $\frac{4}{3} = \frac{2^2}{(\sqrt{3})^2} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\left( \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \right)^x = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.

3)

Решение:

Исходное уравнение: $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$

Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем для каждого основания.

В левой части вынесем $2^{x^2-1}$: $2^{x^2+2} = 2^{x^2-1+3} = 2^{x^2-1} \cdot 2^3$.

$2^{x^2-1} (1 + 2^3) = 2^{x^2-1} (1 + 8) = 9 \cdot 2^{x^2-1}$

В правой части вынесем $3^{x^2-1}$: $3^{x^2} = 3^{x^2-1+1} = 3^{x^2-1} \cdot 3^1$.

$3^{x^2-1} (1 + 3^1) = 3^{x^2-1} (1 + 3) = 4 \cdot 3^{x^2-1}$

Уравнение принимает вид:

$9 \cdot 2^{x^2-1} = 4 \cdot 3^{x^2-1}$

Разделим обе части на $3^{x^2-1}$ (так как $3^{x^2-1} \neq 0$) и на 9:

$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-1} = \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Получаем уравнение:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x^2-1 = 2$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

4)

Решение:

Исходное уравнение: $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0$.

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(5^{2x} - 7^x) - (35 \cdot 5^{2x} - 35 \cdot 7^x) = 0$

Вынесем общий множитель 35 из второй скобки:

$(5^{2x} - 7^x) - 35(5^{2x} - 7^x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(5^{2x} - 7^x)$ за скобки:

$(1 - 35)(5^{2x} - 7^x) = 0$

$-34(5^{2x} - 7^x) = 0$

Так как $-34 \neq 0$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$5^{2x} - 7^x = 0$

$5^{2x} = 7^x$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем левую часть:

$(5^2)^x = 7^x$

$25^x = 7^x$

Разделим обе части уравнения на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ при любом x):

$\frac{25^x}{7^x} = 1$

$\left(\frac{25}{7}\right)^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.