Номер 219, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы уравнений (219—220):

$\begin{cases} 5^{x+y} = 125, \\ 3^{(x-y)^2-1} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 3^y = 12, \\ 6^{x+y} = 216; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4^{x+y} = 128, \\ 5^{3x-2y-3} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27. \end{cases}$

219.1)Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 5^{x+y} = 125 \\ 3^{(x-y)^2 - 1} = 1 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Так как $125 = 5^3$, получаем: $5^{x+y} = 5^3$, из чего следует $x+y = 3$.
Теперь преобразуем второе уравнение. Так как любое число в степени 0 равно 1 ($a^0=1$), то $1 = 3^0$. Получаем: $3^{(x-y)^2 - 1} = 3^0$, из чего следует $(x-y)^2 - 1 = 0$.
Решим полученное уравнение: $(x-y)^2 = 1$. Это дает нам два возможных случая: $x-y = 1$ или $x-y = -1$.
Таким образом, исходная система распадается на две системы линейных уравнений:

1) Первая система: $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 3+1$, что дает $2x=4$, откуда $x=2$.
Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y=3$, откуда $y=1$.
Первое решение: $(2; 1)$.

2) Вторая система: $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 3+(-1)$, что дает $2x=2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ в первое уравнение: $1+y=3$, откуда $y=2$.
Второе решение: $(1; 2)$.
Ответ: $(2; 1)$, $(1; 2)$.

2)Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 12 \\ 6^{x+y} = 216 \end{cases} $
Начнем со второго уравнения. Так как $216 = 6^3$, получаем: $6^{x+y} = 6^3$, из чего следует $x+y = 3$.
Выразим $y$ через $x$: $y = 3-x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $3^x + 3^{3-x} = 12$
$3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$
$3^x + \frac{27}{3^x} = 12$
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, при этом $t>0$. $t + \frac{27}{t} = 12$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $t^2 + 27 = 12t$
$t^2 - 12t + 27 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому подходят.
Вернемся к замене:
1) Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $x=1$. Тогда $y = 3-x = 3-1 = 2$. Получаем решение $(1; 2)$.
2) Если $t = 9$, то $3^x = 9 = 3^2$, откуда $x=2$. Тогда $y = 3-x = 3-2 = 1$. Получаем решение $(2; 1)$.
Ответ: $(1; 2)$, $(2; 1)$.

3)Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 128 \\ 5^{3x-2y-3} = 1 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Приведем обе части к основанию 2. Так как $4=2^2$ и $128=2^7$, то: $(2^2)^{x+y} = 2^7$
$2^{2(x+y)} = 2^7$
$2(x+y) = 7$
$2x + 2y = 7$
Теперь преобразуем второе уравнение. Так как $1 = 5^0$: $5^{3x-2y-3} = 5^0$
$3x - 2y - 3 = 0$
$3x - 2y = 3$
Мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$: $(2x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 3$
$5x = 10$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение $2x+2y=7$: $2(2) + 2y = 7$
$4 + 2y = 7$
$2y = 3$
$y = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $(2; 1,5)$.

4)Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81} \\ 3^{x-y+2} = 27 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Так как $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$: $3^{2x-y} = 3^{-4}$
$2x-y = -4$
Преобразуем второе уравнение. Так как $27 = 3^3$: $3^{x-y+2} = 3^3$
$x-y+2 = 3$
$x-y = 1$
В результате мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = -4 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$: $(2x - y) - (x - y) = -4 - 1$
$2x - y - x + y = -5$
$x = -5$
Подставим значение $x=-5$ во второе уравнение $x-y=1$: $-5 - y = 1$
$-y = 1 + 5$
$-y = 6$
$y = -6$
Ответ: $(-5; -6)$.