Номер 212, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (212–217):

212. 1) $5^x = 625$; 2) $2^x = 1024$;

3) $3^x = 729$; 4) $7^x = \frac{1}{343}$.

1) $5^x = 625$

Решение:

Для решения данного показательного уравнения необходимо представить обе его части в виде степеней с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 5.

Представим число 625 как степень числа 5:
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$5^x = 5^4$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 4$

Ответ: 4.

2) $2^x = 1024$

Решение:

Представим правую часть уравнения, число 1024, в виде степени с основанием 2.

Число 1024 является 10-й степенью числа 2:
$2^{10} = 1024$

Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^x = 2^{10}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, их показатели также должны быть равны:
$x = 10$

Ответ: 10.

3) $3^x = 729$

Решение:

Для решения уравнения представим число 729 в виде степени с основанием 3.

Найдем соответствующую степень, последовательно возводя 3 в степень:
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$

Теперь уравнение имеет вид:
$3^x = 3^6$

Приравнивая показатели степеней с одинаковыми основаниями, получаем:
$x = 6$

Ответ: 6.

4) $7^x = \frac{1}{343}$

Решение:

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 7.

Сначала найдем степень числа 7, которая равна 343:
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$7^x = 7^{-3}$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$x = -3$

Ответ: -3.