Номер 230, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите неравенства (230—236):

230. 1) $2^x \ge 32;$ 2) $(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49};$ 3) $6^{x-4} \le 36;$ 4) $(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}.$

1)

Дано:

$2^x > 32$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. Представим число 32 как степень с основанием 2:

$32 = 2^5$

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$2^x > 2^5$

Так как основание степени $a=2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x > 5$

Множество решений неравенства — это все числа, большие 5.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2)

Дано:

$(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Правая часть $\frac{16}{49}$ может быть представлена как степень с основанием $\frac{4}{7}$:

$\frac{16}{49} = \frac{4^2}{7^2} = (\frac{4}{7})^2$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(\frac{4}{7})^x < (\frac{4}{7})^2$

Основание степени $a = \frac{4}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2$

Множество решений неравенства — это все числа, большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3)

Дано:

$6^{x-4} \le 36$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 6. Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Неравенство принимает вид:

$6^{x-4} \le 6^2$

Так как основание степени $a=6$ больше 1 ($6 > 1$), показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется:

$x-4 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \le 2 + 4$

$x \le 6$

Множество решений неравенства — это все числа, меньшие или равные 6.

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

4)

Дано:

$(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Приведем правую часть неравенства к основанию $\frac{3}{5}$.

$\frac{27}{125} = \frac{3^3}{5^3} = (\frac{3}{5})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{5})^{x+3} > (\frac{3}{5})^3$

Основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x+3 < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$x < 3 - 3$

$x < 0$

Множество решений неравенства — это все числа, меньшие 0.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.