Номер 239, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

239.

1) $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x \ge 55;$

2) $3 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^x - 2^{x+2} \le 14;$

3) $x^3 \cdot 3^x - 3^x > 0;$

4) $x^2 \cdot 4^x - 4^x < 0.$

1)

Дано:

Неравенство $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x \ge 55$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Для решения данного показательного неравенства преобразуем его, используя свойства степеней:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$6 \cdot (5 \cdot 5^x) - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x \ge 55$

$30 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x \ge 55$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x \cdot (30 - 25 + 6) \ge 55$

$5^x \cdot 11 \ge 55$

Разделим обе части неравенства на 11 (так как 11 > 0, знак неравенства не меняется):

$5^x \ge \frac{55}{11}$

$5^x \ge 5$

Представим 5 как $5^1$:

$5^x \ge 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x \ge 1$

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

2)

Дано:

Неравенство $3 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^x - 2^{x+2} \le 14$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Используем свойства степеней для преобразования неравенства:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$3 \cdot (2 \cdot 2^x) + 5 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x \le 14$

$6 \cdot 2^x + 5 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x \le 14$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \cdot (6 + 5 - 4) \le 14$

$2^x \cdot 7 \le 14$

Разделим обе части неравенства на 7:

$2^x \le \frac{14}{7}$

$2^x \le 2$

Представим 2 как $2^1$:

$2^x \le 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

3)

Дано:

Неравенство $x^3 \cdot 3^x - 3^{x+3} > 0$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^3 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^3 > 0$

$x^3 \cdot 3^x - 27 \cdot 3^x > 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(x^3 - 27) > 0$

Показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$, то есть $3^x > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$ без изменения знака неравенства:

$x^3 - 27 > 0$

Перенесем 27 в правую часть:

$x^3 > 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x > \sqrt[3]{27}$

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

4)

Дано:

Неравенство $x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1} < 0$.

Найти:

Множество решений $x$.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 4^x - 4^x \cdot 4^1 < 0$

$x^2 \cdot 4^x - 4 \cdot 4^x < 0$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x(x^2 - 4) < 0$

Поскольку показательная функция $y=4^x$ всегда положительна ($4^x > 0$), знак левой части неравенства определяется знаком выражения в скобках. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x+2)$ на каждом интервале. На интервале $(-2; 2)$ выражение отрицательно. На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ оно положительно. Поскольку нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, решением является интервал:

$-2 < x < 2$

Ответ: $x \in (-2; 2)$.