Номер 243, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

243. Найдите общее решение неравенств:

1) $3^x > 9$ и $x - 2 \le 6$;

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^x > 25^{-1}$ и $1 - x \le 0$;

3) $\left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8^{-1}$ и $4x - 3 > 1$;

4) $4^x \le 64$ и $5 - 2x < 0.$

1)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} 3^x > 9 \\ x - 2 \le 6 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$3^x > 9$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$3^x > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция с таким основанием является возрастающей. Поэтому можно перейти к сравнению показателей, сохранив знак неравенства:

$x > 2$

Решением первого неравенства является промежуток $(2, +\infty)$.

Второе неравенство:

$x - 2 \le 6$

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком:

$x \le 6 + 2$

$x \le 8$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty, 8]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 2$ и $x \le 8$.

Общее решение системы - это множество всех $x$, удовлетворяющих обоим условиям, то есть $x \in (2, +\infty) \cap (-\infty, 8]$.

Таким образом, общее решение системы: $2 < x \le 8$.

Ответ: $(2, 8]$.

2)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} \left(\frac{1}{5}\right)^x > 25^{-1} \\ 1 - x \le 0 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 25^{-1}$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием $\frac{1}{5}$:

$25^{-1} = \frac{1}{25} = \left(\frac{1}{5}\right)^2$.

Подставим это выражение в неравенство:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x > \left(\frac{1}{5}\right)^2$

Так как основание степени $\frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty, 2)$.

Второе неравенство:

$1 - x \le 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$1 \le x$

Решением второго неравенства является промежуток $[1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $x < 2$ и $x \ge 1$.

Общее решение системы: $1 \le x < 2$.

Ответ: $[1, 2)$.

3)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8^{-1} \\ 4x - 3 > 1 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8^{-1}$

Представим обе части с основанием 2:

$\left(\frac{1}{2}\right) = 2^{-1}$, а $8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$.

Неравенство принимает вид:

$(2^{-1})^x \le 2^{-3}$

$2^{-x} \le 2^{-3}$

Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \le -3$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x \ge 3$

Решением первого неравенства является промежуток $[3, +\infty)$.

Второе неравенство:

$4x - 3 > 1$

Прибавим 3 к обеим частям:

$4x > 4$

Разделим на 4:

$x > 1$

Решением второго неравенства является промежуток $(1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge 3$ и $x > 1$.

Если число больше или равно 3, оно автоматически больше 1. Следовательно, пересечением этих двух условий является $x \ge 3$.

Ответ: $[3, +\infty)$.

4)

Дано:

Система неравенств:

$\begin{cases} 4^x \le 64 \\ 5 - 2x < 0 \end{cases}$

Найти:

Общее решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$4^x \le 64$

Представим 64 как степень с основанием 4:

$64 = 4^3$.

Неравенство принимает вид:

$4^x \le 4^3$

Так как основание $4 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 3$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty, 3]$.

Второе неравенство:

$5 - 2x < 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$5 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{5}{2} < x$, или $x > 2.5$

Решением второго неравенства является промежуток $(2.5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \le 3$ и $x > 2.5$.

Общее решение системы: $2.5 < x \le 3$.

Ответ: $(2.5, 3]$.