Номер 253, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

253.1) $(\log_{\frac{1}{2}}(4x))^2 + \log_2\left(\frac{x^2}{8}\right) = 8$;

2) $(\log_2 x^5)^2 - 5 \log_2 x^3 = 10$;

3) $\lg (10x) \cdot \lg (0.1 \cdot x) = \lg x^3 - 3$;

4) $\frac{1 - (\lg(x^2))^2}{\lg x - 2 (\lg x)^2} = 4 \lg x + 5$.

1) $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$4x > 0 \implies x > 0$

$\frac{x^2}{8} > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}(4x) = \log_{2^{-1}}(4x) = -\log_2(4x) = -(\log_2 4 + \log_2 x) = -(2 + \log_2 x)$.

Тогда первый член уравнения: $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) = (-(2 + \log_2 x))^2 = (2 + \log_2 x)^2 = 4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x$.

Преобразуем второй член: $\log_2 \frac{x^2}{8} = \log_2(x^2) - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x) + (2\log_2 x - 3) = 8$

$\log_2^2 x + 6\log_2 x + 1 = 8$

$\log_2^2 x + 6\log_2 x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.

$t^2 + 6t - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = -7 \implies x_2 = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; \frac{1}{128}$.

2) $\log_2^2 x^5 - 5 \log_2 x^3 = 10$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$, так как $x^5 > 0$ и $x^3 > 0$ при $x > 0$.

Упростим уравнение, используя свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$.

$\log_2^2 x^5 = (\log_2 x^5)^2 = (5\log_2 x)^2 = 25\log_2^2 x$.

$5\log_2 x^3 = 5 \cdot (3\log_2 x) = 15\log_2 x$.

Подставим в уравнение:

$25\log_2^2 x - 15\log_2 x = 10$

$25\log_2^2 x - 15\log_2 x - 10 = 0$

Разделим обе части на 5:

$5\log_2^2 x - 3\log_2 x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$.

$5t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x_2 = 2^{-2/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; 2^{-2/5}$.

3) $\lg(10x) \cdot \lg(0.1x) = \lg x^3 - 3$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойства логарифмов произведения и степени ($\lg a = \log_{10} a$):

$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.

$\lg(0.1x) = \lg(10^{-1}x) = \lg 10^{-1} + \lg x = -1 + \lg x$.

$\lg x^3 = 3\lg x$.

Подставим в уравнение:

$(1 + \lg x)(-1 + \lg x) = 3\lg x - 3$

Применим формулу разности квадратов: $(\lg x)^2 - 1^2 = 3\lg x - 3$.

$\lg^2 x - 1 = 3\lg x - 3$

$\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \lg x$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2) $\lg x = 2 \implies x_2 = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 100$.

4) $\frac{1-\lg^2(x^2)}{\lg x - 2\lg^2 x} = 4\lg x + 5$

Решение:

Найдем ОДЗ:

1. Аргументы логарифмов положительны: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$ и $x > 0$. Объединяя, получаем $x > 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\lg x - 2\lg^2 x \neq 0$.

$\lg x(1 - 2\lg x) \neq 0$.

Отсюда $\lg x \neq 0 \implies x \neq 1$ и $1 - 2\lg x \neq 0 \implies 2\lg x \neq 1 \implies \lg x \neq \frac{1}{2} \implies x \neq 10^{1/2} = \sqrt{10}$.

ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$, $x \neq 1$, $x \neq \sqrt{10}$.

Преобразуем левую часть уравнения:

Числитель: $1 - \lg^2(x^2) = 1 - (2\lg x)^2 = (1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)$.

Знаменатель: $\lg x - 2\lg^2 x = \lg x(1 - 2\lg x)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)}{\lg x(1 - 2\lg x)}$.

Сократим на $(1 - 2\lg x)$, так как по ОДЗ $x \neq \sqrt{10}$:

$\frac{1 + 2\lg x}{\lg x} = 4\lg x + 5$.

Сделаем замену $t = \lg x$. Учитывая ОДЗ, $t \neq 0$ и $t \neq \frac{1}{2}$.

$\frac{1 + 2t}{t} = 4t + 5$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$1 + 2t = t(4t + 5)$

$1 + 2t = 4t^2 + 5t$

$4t^2 + 3t - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$t_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.

$t_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Оба значения $t$ допустимы, так как $t \neq 0$ и $t \neq \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

1) $\lg x = -1 \implies x_1 = 10^{-1} = 0.1$.

2) $\lg x = \frac{1}{4} \implies x_2 = 10^{1/4} = \sqrt[4]{10}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0.1; \sqrt[4]{10}$.