Номер 250, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (250-254):

250. 1)
$ \log_7(x - 2) + \log_7(x + 2) = \log_7(4x + 41); $

2) $ \log_4(x + 1) - \log_4(1 - x) = \log_4(2x + 3); $

3) $ \log_4(x + 3) - \log_4(x - 1) = 2 - \log_4 8; $

4) $ \lg (x - 1) + \lg (x + 1) = 3 \lg 2 + \lg (x - 2). $

250. 1) $log_7(x - 2) + log_7(x + 2) = log_7(4x+41)$
Решение:
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 4x + 41 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > -10.25 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 2$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$ для левой части уравнения:
$log_7((x - 2)(x + 2)) = log_7(4x+41)$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(x - 2)(x + 2) = 4x + 41$
$x^2 - 4 = 4x + 41$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 45 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-4) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-(-4) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = -5$
Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 2$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > 2$, значит, это посторонний корень.
Ответ: $9$.

2) $log_4(x + 1) - log_4(1 - x) = log_4(2x + 3)$
Решение:
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x < 1 \\ x > -1.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $-1 < x < 1$.
Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_4(\frac{x+1}{1-x}) = log_4(2x + 3)$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{x+1}{1-x} = 2x + 3$
$x + 1 = (2x + 3)(1 - x)$
$x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x$
$x + 1 = -2x^2 - x + 3$
$2x^2 + 2x - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-1 < x < 1$).
Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $x_1 \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$. Это значение принадлежит интервалу $(-1, 1)$.
Значение $x_2 \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$. Это значение не принадлежит интервалу $(-1, 1)$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

3) $log_4(x + 3) - log_4(x - 1) = 2 - log_4(8)$
Решение:
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > 1 \end{cases}$
Пересечением является $x > 1$.
Перенесем $log_4(8)$ в левую часть уравнения:
$log_4(x + 3) - log_4(x - 1) + log_4(8) = 2$
Используя свойства логарифмов, объединим логарифмы в левой части:
$log_4(\frac{(x+3) \cdot 8}{x-1}) = 2$
По определению логарифма ($log_a(b) = c \Leftrightarrow a^c = b$):
$\frac{8(x+3)}{x-1} = 4^2$
$\frac{8(x+3)}{x-1} = 16$
Разделим обе части на 8:
$\frac{x+3}{x-1} = 2$
При условии, что $x-1 \neq 0$ (что выполняется в ОДЗ), умножим обе части на $(x-1)$:
$x+3 = 2(x-1)$
$x+3 = 2x - 2$
$5 = x$
Проверяем корень на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Корень $x=5$ удовлетворяет условию.
Ответ: $5$.

4) $lg(x - 1) + lg(x + 1) = 3lg2 + lg(x - 2)$
Решение:
Найдем ОДЗ (lg - это десятичный логарифм, $log_{10}$):
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \\ x > 2 \end{cases}$
Пересечением является $x > 2$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n\cdot log_a(b) = log_a(b^n)$ и $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$:
$lg((x - 1)(x + 1)) = lg(2^3) + lg(x - 2)$
$lg(x^2 - 1) = lg(8) + lg(x - 2)$
$lg(x^2 - 1) = lg(8(x - 2))$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^2 - 1 = 8(x - 2)$
$x^2 - 1 = 8x - 16$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15.
Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x > 2$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 2$.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $3; 5$.