Номер 300, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

300.1) $\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5dx}{\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 5x\right)};$

2) $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \left(\cos^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right) dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3dx}{\sin^2\left(\frac{\pi}{12} + 3x\right)};$

4) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \left(\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\right) dx.$

1)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)}$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{5}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)}$.

Найдем первообразную $F(x)$. Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2(u)}$ есть $\tan(u)$. Для сложной функции $\frac{1}{\cos^2(kx+b)}$ первообразная равна $\frac{1}{k}\tan(kx+b)$.

В нашем случае $k=5$ и есть постоянный множитель 5. Таким образом, первообразная находится следующим образом:

$F(x) = \int \frac{5}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} dx = 5 \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} = 5 \cdot \frac{1}{5} \tan(\frac{\pi}{8} + 5x) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5x)$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{40}$:

$F(\frac{\pi}{40}) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{40}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{2\pi}{8}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{120}$:

$F(\frac{\pi}{120}) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{120}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{4\pi}{24}) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вычисляем значение интеграла как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:

$\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} = F(\frac{\pi}{40}) - F(\frac{\pi}{120}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} (\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{4})) dx$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Сначала упростим подынтегральное выражение. Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

В данном случае, $\alpha = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Тогда подынтегральная функция равна $\cos(2(3x - \frac{\pi}{4})) = \cos(6x - \frac{\pi}{2})$.

Применим формулу приведения $\cos(y - \frac{\pi}{2}) = \sin(y)$. Подынтегральное выражение становится $\sin(6x)$.

Интеграл принимает вид: $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx$.

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin(6x)$. Первообразная для $\sin(kx)$ равна $-\frac{1}{k}\cos(kx)$.

$F(x) = \int \sin(6x) dx = -\frac{1}{6}\cos(6x)$.

Теперь подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Обратите внимание, что верхний предел $\frac{\pi}{36}$ меньше нижнего предела $\frac{\pi}{18}$.

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{36}$:

$F(\frac{\pi}{36}) = -\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{36}) = -\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{12}$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{18}$:

$F(\frac{\pi}{18}) = -\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{18}) = -\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{12}$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx = F(\frac{\pi}{36}) - F(\frac{\pi}{18}) = -\frac{\sqrt{3}}{12} - (-\frac{1}{12}) = \frac{1-\sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{3}}{12}$.

3)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)}$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Подынтегральная функция $f(x) = \frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)}$.

Найдем первообразную $F(x)$. Первообразная для функции $\frac{1}{\sin^2(u)}$ есть $-\cot(u)$. Для сложной функции $\frac{1}{\sin^2(kx+b)}$ первообразная равна $-\frac{1}{k}\cot(kx+b)$.

В нашем случае $k=3$ и есть постоянный множитель 3. Таким образом, первообразная находится следующим образом:

$F(x) = \int \frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} dx = 3 \int \frac{dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} = 3 \cdot (-\frac{1}{3} \cot(\frac{\pi}{12} + 3x)) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3x)$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{12}$:

$F(\frac{\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{4\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{18}$:

$F(\frac{\pi}{18}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{18}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}) = -\cot(\frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Вычисляем значение интеграла как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} = F(\frac{\pi}{12}) - F(\frac{\pi}{18}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

4)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} (\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x)) dx$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Сначала упростим подынтегральное выражение. Вынесем -1 за скобки:

$\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) = -(\cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x))$.

Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$, где $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2x$.

Подынтегральное выражение становится: $- \cos(2(\frac{\pi}{4} + 2x)) = -\cos(\frac{\pi}{2} + 4x)$.

Далее применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + y) = -\sin(y)$.

Выражение упрощается до: $-(-\sin(4x)) = \sin(4x)$.

Интеграл принимает вид: $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx$.

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin(4x)$, которая равна $F(x) = -\frac{1}{4}\cos(4x)$.

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Обратите внимание, что верхний предел интегрирования меньше нижнего.

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{24}$:

$F(\frac{\pi}{24}) = -\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{24}) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{8}$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{12}$:

$F(\frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx = F(\frac{\pi}{24}) - F(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{8} - (-\frac{1}{8}) = \frac{1-\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{3}}{8}$.