Страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Монету подбрасывают дважды. Случайная величина $x$ равна количеству выпавших при этом гербов. Найдите:

1) распределение случайной величины $x$;

2) распределение случайной величины $x^2$;

3) распределение случайной величины $z = x + x^2$.

Для решения задачи сначала определим пространство элементарных исходов при двукратном подбрасывании монеты. Обозначим выпадение герба как "Г", а решки — как "Р".

Возможные исходы:

• ГГ (два герба)
• ГР (герб, затем решка)
• РГ (решка, затем герб)
• РР (две решки)

Всего существует 4 равновероятных исхода. Вероятность каждого из них составляет $1/4$.

Случайная величина $x$ равна количеству выпавших гербов. Найдем значения, которые может принимать $x$ для каждого исхода:

• Для исхода РР: $x = 0$
• Для исходов ГР и РГ: $x = 1$
• Для исхода ГГ: $x = 2$

Таким образом, случайная величина $x$ может принимать значения 0, 1 и 2.

1) распределение случайной величины x

Найдем вероятности для каждого возможного значения $x$.

• $P(x=0)$ — вероятность того, что герб не выпадет ни разу. Этому соответствует только один исход (РР).
  $P(x=0) = 1/4$.
• $P(x=1)$ — вероятность того, что герб выпадет ровно один раз. Этому соответствуют два исхода (ГР и РГ).
  $P(x=1) = P(ГР) + P(РГ) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$.
• $P(x=2)$ — вероятность того, что герб выпадет дважды. Этому соответствует один исход (ГГ).
  $P(x=2) = 1/4$.

Проверка: $1/4 + 1/2 + 1/4 = 1$.

Закон распределения (ряд распределения) случайной величины $x$ можно представить в виде таблицы:

Ответ:

2) распределение случайной величины x²

Найдем возможные значения для случайной величины $x^2$, используя уже найденные значения $x$ и их вероятности.

• Если $x=0$, то $x^2 = 0^2 = 0$. Вероятность этого события $P(x^2=0) = P(x=0) = 1/4$.
• Если $x=1$, то $x^2 = 1^2 = 1$. Вероятность этого события $P(x^2=1) = P(x=1) = 1/2$.
• Если $x=2$, то $x^2 = 2^2 = 4$. Вероятность этого события $P(x^2=4) = P(x=2) = 1/4$.

Закон распределения случайной величины $x^2$:

Ответ:

3) распределение случайной величины z = x + x²

Найдем возможные значения для случайной величины $z = x + x^2$. Вероятности этих значений будут такими же, как и у соответствующих значений $x$.

• Если $x=0$, то $z = 0 + 0^2 = 0$. Вероятность $P(z=0) = P(x=0) = 1/4$.
• Если $x=1$, то $z = 1 + 1^2 = 2$. Вероятность $P(z=2) = P(x=1) = 1/2$.
• Если $x=2$, то $z = 2 + 2^2 = 2 + 4 = 6$. Вероятность $P(z=6) = P(x=2) = 1/4$.

Закон распределения случайной величины $z$:

Ответ:

2. Монету и кубик подбрасывают одновременно. Случайная величина $x$ равна числу, выпавшему на кубике, а случайная величина $y$ равна 1, если монета выпала кверху гербом, и 0, если числом. Найдите:

1) распределение случайной величины $x$;

2) распределение случайной величины $y$;

3) распределение случайной величины $z = xy$.

3. Независимые случайные величины

Изучая теорию вероятностей, вы ознакомились с понятием «независимые случайные события». Например, если подбросить красный и синий игральные кубики, то события

$A_k = \{\text{на красном кубике выпало число } k\}$

и

$B_m = \{\text{на синем кубике выпало число } m\}$

являются независимыми при любых значениях $k$ и $m$, где $k$ и $m$ – натуральные числа от 1 до 6. Этот факт согласуется с нашей интуицией. Поскольку

кубики были подброшены независимо, то информация о том, что на красном кубике выпало, например, число $k = 5$, не меняет вероятность выпадения числа $m = 3$ на синем кубике. Другими словами, если случайная величина $x$ равна числу на красном кубике, а случайная величина $y$ — числу на синем кубике, то случайные события $\{x = k\}$ и $\{y = m\}$ являются независимыми при любых значениях $k$ и $m$.

1) распределение случайной величины x

Случайная величина $x$ — это число, выпавшее на игральном кубике. Стандартный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Будем считать, что кубик правильный (симметричный), то есть вероятность выпадения каждой грани одинакова.

Возможные значения для случайной величины $x$: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Так как исходов 6 и все они равновероятны, вероятность каждого значения $x_i$ равна $P(x=x_i) = \frac{1}{6}$.

Закон распределения случайной величины $x$ можно представить в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины $x$ задается таблицей, где каждому из значений $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ соответствует вероятность $\frac{1}{6}$.

2) распределение случайной величины y

Случайная величина $y$ определяется результатом подбрасывания монеты. Она равна 1, если монета выпала кверху гербом, и 0, если числом (решкой). Будем считать, что монета симметричная.

Возможные значения для $y$: $\{0, 1\}$.

Вероятность выпадения герба ($y=1$) равна $P(y=1) = \frac{1}{2}$.

Вероятность выпадения числа ($y=0$) равна $P(y=0) = \frac{1}{2}$.

Закон распределения случайной величины $y$ можно представить в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины $y$ задается таблицей, где значению 0 соответствует вероятность $\frac{1}{2}$, и значению 1 также соответствует вероятность $\frac{1}{2}$.

3) распределение случайной величины z = xy

Случайная величина $z$ является произведением случайных величин $x$ и $y$. Поскольку подбрасывание монеты и кубика являются независимыми событиями, случайные величины $x$ и $y$ также независимы. Вероятность совместного наступления событий $P(x=x_i, y=y_j)$ равна произведению их вероятностей: $P(x=x_i, y=y_j) = P(x=x_i) \cdot P(y=y_j)$.

Найдем возможные значения $z$ и их вероятности. Значение $z$ зависит от исходов обоих событий.
- Если на монете выпадает число (решка), то $y=0$. Вероятность этого $P(y=0) = \frac{1}{2}$. В этом случае $z = x \cdot 0 = 0$ независимо от того, какое число выпало на кубике. Таким образом, $P(z=0) = P(y=0) = \frac{1}{2}$.
- Если на монете выпадает герб, то $y=1$. Вероятность этого $P(y=1) = \frac{1}{2}$. В этом случае $z = x \cdot 1 = x$. Значит, $z$ может принимать значения $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Вероятность того, что $z$ примет одно из этих значений, например $k$, равна вероятности того, что на кубике выпало $k$ И на монете выпал герб. Так как события независимы, мы перемножаем их вероятности:
$P(z=k) = P(x=k \text{ и } y=1) = P(x=k) \cdot P(y=1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ для $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Итак, полный закон распределения для $z$ следующий:
$P(z=0) = \frac{1}{2}$
$P(z=1) = \frac{1}{12}$
$P(z=2) = \frac{1}{12}$
$P(z=3) = \frac{1}{12}$
$P(z=4) = \frac{1}{12}$
$P(z=5) = \frac{1}{12}$
$P(z=6) = \frac{1}{12}$

Проверка: сумма вероятностей должна быть равна 1. $\frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{6}{12} = \frac{12}{12} = 1$.

Представим этот закон распределения в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины $z$ задается таблицей, где значению 0 соответствует вероятность $\frac{1}{2}$, а каждому из значений $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ соответствует вероятность $\frac{1}{12}$.