Номер 1, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 1, страница 190.

1. Монету подбрасывают дважды. Случайная величина $x$ равна количеству выпавших при этом гербов. Найдите:

1) распределение случайной величины $x$;

2) распределение случайной величины $x^2$;

3) распределение случайной величины $z = x + x^2$.

Для решения задачи сначала определим пространство элементарных исходов при двукратном подбрасывании монеты. Обозначим выпадение герба как "Г", а решки — как "Р".

Возможные исходы:

• ГГ (два герба)
• ГР (герб, затем решка)
• РГ (решка, затем герб)
• РР (две решки)

Всего существует 4 равновероятных исхода. Вероятность каждого из них составляет $1/4$.

Случайная величина $x$ равна количеству выпавших гербов. Найдем значения, которые может принимать $x$ для каждого исхода:

• Для исхода РР: $x = 0$
• Для исходов ГР и РГ: $x = 1$
• Для исхода ГГ: $x = 2$

Таким образом, случайная величина $x$ может принимать значения 0, 1 и 2.

1) распределение случайной величины x

Найдем вероятности для каждого возможного значения $x$.

• $P(x=0)$ — вероятность того, что герб не выпадет ни разу. Этому соответствует только один исход (РР).
  $P(x=0) = 1/4$.
• $P(x=1)$ — вероятность того, что герб выпадет ровно один раз. Этому соответствуют два исхода (ГР и РГ).
  $P(x=1) = P(ГР) + P(РГ) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$.
• $P(x=2)$ — вероятность того, что герб выпадет дважды. Этому соответствует один исход (ГГ).
  $P(x=2) = 1/4$.

Проверка: $1/4 + 1/2 + 1/4 = 1$.

Закон распределения (ряд распределения) случайной величины $x$ можно представить в виде таблицы:

Ответ:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

2) распределение случайной величины x²

Найдем возможные значения для случайной величины $x^2$, используя уже найденные значения $x$ и их вероятности.

• Если $x=0$, то $x^2 = 0^2 = 0$. Вероятность этого события $P(x^2=0) = P(x=0) = 1/4$.
• Если $x=1$, то $x^2 = 1^2 = 1$. Вероятность этого события $P(x^2=1) = P(x=1) = 1/2$.
• Если $x=2$, то $x^2 = 2^2 = 4$. Вероятность этого события $P(x^2=4) = P(x=2) = 1/4$.

Закон распределения случайной величины $x^2$:

Ответ:

$(x^2)_i$	0	1	4
$p_i$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

3) распределение случайной величины z = x + x²

Найдем возможные значения для случайной величины $z = x + x^2$. Вероятности этих значений будут такими же, как и у соответствующих значений $x$.

• Если $x=0$, то $z = 0 + 0^2 = 0$. Вероятность $P(z=0) = P(x=0) = 1/4$.
• Если $x=1$, то $z = 1 + 1^2 = 2$. Вероятность $P(z=2) = P(x=1) = 1/2$.
• Если $x=2$, то $z = 2 + 2^2 = 2 + 4 = 6$. Вероятность $P(z=6) = P(x=2) = 1/4$.

Закон распределения случайной величины $z$:

Ответ:

$z_i$	0	2	6
$p_i$	$1/4$	$1/2$	$1/4$