Номер 1, страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 1, страница 193.

1. В условиях задачи о турнире Лиги чемпионов найдите распределение суммы случайных величин $x$ и $y$.

Для того чтобы найти распределение суммы случайных величин $x$ и $y$, необходимо знать их совместный закон распределения, который должен быть определен в условиях "задачи о турнире Лиги чемпионов". Так как эти условия не предоставлены, ниже приводится общий метод решения подобных задач и его применение на гипотетическом примере.

Общий метод

Пусть $Z = X + Y$ является суммой двух дискретных случайных величин $X$ и $Y$. Чтобы найти закон распределения величины $Z$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить все возможные значения $z_k$, которые может принимать случайная величина $Z$. Эти значения получаются путем сложения всех возможных пар значений $(x_i, y_j)$, которые могут принимать величины $X$ и $Y$.
2. Для каждого возможного значения $z_k$ вычислить его вероятность $P(Z=z_k)$. Эта вероятность равна сумме вероятностей всех пар $(x_i, y_j)$, для которых выполняется условие $x_i + y_j = z_k$. Формула для вычисления: $$ P(Z=z_k) = \sum_{i,j: x_i+y_j=z_k} P(X=x_i, Y=y_j) $$ где $P(X=x_i, Y=y_j)$ — это совместная вероятность событий $X=x_i$ и $Y=y_j$.
3. Представить полученные результаты в виде таблицы, где каждому возможному значению $z_k$ соответствует вычисленная вероятность $P(Z=z_k)$. Эта таблица и является искомым законом распределения для $Z$.

Решение на гипотетическом примере

Предположим, что в задаче $X$ — это количество голов, забитых первой командой, а $Y$ — количество голов, забитых второй командой. Их совместное распределение вероятностей задано следующей таблицей:

$Y \setminus X$	0	1	2
0	0.10	0.15	0.05
1	0.20	0.25	0.10
2	0.05	0.08	0.02

Найдем распределение для суммы $Z = X + Y$, которая в данном случае будет представлять общее количество голов, забитых в матче.

1. Определение возможных значений $Z$.
Возможные значения для $X$: $\{0, 1, 2\}$.
Возможные значения для $Y$: $\{0, 1, 2\}$.
Следовательно, сумма $Z = X + Y$ может принимать значения от $0+0=0$ до $2+2=4$. Таким образом, множество возможных значений для $Z$ есть $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

2. Вычисление вероятностей для каждого значения $Z$.
Мы находим вероятность для каждого значения $Z$, суммируя вероятности соответствующих комбинаций $(X,Y)$ из таблицы совместного распределения.

• $Z=0$: только при $(X=0, Y=0)$.
  $P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = 0.10$
• $Z=1$: при $(X=0, Y=1)$ или $(X=1, Y=0)$.
  $P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) = 0.20 + 0.15 = 0.35$
• $Z=2$: при $(X=0, Y=2)$, $(X=1, Y=1)$ или $(X=2, Y=0)$.
  $P(Z=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=0) = 0.05 + 0.25 + 0.05 = 0.35$
• $Z=3$: при $(X=1, Y=2)$ или $(X=2, Y=1)$.
  $P(Z=3) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=1) = 0.08 + 0.10 = 0.18$
• $Z=4$: только при $(X=2, Y=2)$.
  $P(Z=4) = P(X=2, Y=2) = 0.02$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:
$0.10 + 0.35 + 0.35 + 0.18 + 0.02 = 1.00$

3. Составление итоговой таблицы распределения для $Z$.
Закон распределения для суммы $Z = X + Y$ имеет следующий вид:

$z_k$	0	1	2	3	4
$P(Z=z_k)$	0.10	0.35	0.35	0.18	0.02

Ответ: Поскольку точные данные из "задачи о турнире Лиги чемпионов" не предоставлены, приводим решение для гипотетического примера. Искомый закон распределения для суммы случайных величин $Z = X + Y$ представлен в следующей таблице:

$z$	0	1	2	3	4
$P(Z=z)$	0.10	0.35	0.35	0.18	0.02