Страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. В условиях задачи о турнире Лиги чемпионов найдите распределение суммы случайных величин $x$ и $y$.

Для того чтобы найти распределение суммы случайных величин $x$ и $y$, необходимо знать их совместный закон распределения, который должен быть определен в условиях "задачи о турнире Лиги чемпионов". Так как эти условия не предоставлены, ниже приводится общий метод решения подобных задач и его применение на гипотетическом примере.

Общий метод

Пусть $Z = X + Y$ является суммой двух дискретных случайных величин $X$ и $Y$. Чтобы найти закон распределения величины $Z$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить все возможные значения $z_k$, которые может принимать случайная величина $Z$. Эти значения получаются путем сложения всех возможных пар значений $(x_i, y_j)$, которые могут принимать величины $X$ и $Y$.
2. Для каждого возможного значения $z_k$ вычислить его вероятность $P(Z=z_k)$. Эта вероятность равна сумме вероятностей всех пар $(x_i, y_j)$, для которых выполняется условие $x_i + y_j = z_k$. Формула для вычисления: $$ P(Z=z_k) = \sum_{i,j: x_i+y_j=z_k} P(X=x_i, Y=y_j) $$ где $P(X=x_i, Y=y_j)$ — это совместная вероятность событий $X=x_i$ и $Y=y_j$.
3. Представить полученные результаты в виде таблицы, где каждому возможному значению $z_k$ соответствует вычисленная вероятность $P(Z=z_k)$. Эта таблица и является искомым законом распределения для $Z$.

Решение на гипотетическом примере

Предположим, что в задаче $X$ — это количество голов, забитых первой командой, а $Y$ — количество голов, забитых второй командой. Их совместное распределение вероятностей задано следующей таблицей:

Найдем распределение для суммы $Z = X + Y$, которая в данном случае будет представлять общее количество голов, забитых в матче.

1. Определение возможных значений $Z$.
Возможные значения для $X$: $\{0, 1, 2\}$.
Возможные значения для $Y$: $\{0, 1, 2\}$.
Следовательно, сумма $Z = X + Y$ может принимать значения от $0+0=0$ до $2+2=4$. Таким образом, множество возможных значений для $Z$ есть $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

2. Вычисление вероятностей для каждого значения $Z$.
Мы находим вероятность для каждого значения $Z$, суммируя вероятности соответствующих комбинаций $(X,Y)$ из таблицы совместного распределения.

• $Z=0$: только при $(X=0, Y=0)$.
  $P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = 0.10$
• $Z=1$: при $(X=0, Y=1)$ или $(X=1, Y=0)$.
  $P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) = 0.20 + 0.15 = 0.35$
• $Z=2$: при $(X=0, Y=2)$, $(X=1, Y=1)$ или $(X=2, Y=0)$.
  $P(Z=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=0) = 0.05 + 0.25 + 0.05 = 0.35$
• $Z=3$: при $(X=1, Y=2)$ или $(X=2, Y=1)$.
  $P(Z=3) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=1) = 0.08 + 0.10 = 0.18$
• $Z=4$: только при $(X=2, Y=2)$.
  $P(Z=4) = P(X=2, Y=2) = 0.02$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:
$0.10 + 0.35 + 0.35 + 0.18 + 0.02 = 1.00$

3. Составление итоговой таблицы распределения для $Z$.
Закон распределения для суммы $Z = X + Y$ имеет следующий вид:

Ответ: Поскольку точные данные из "задачи о турнире Лиги чемпионов" не предоставлены, приводим решение для гипотетического примера. Искомый закон распределения для суммы случайных величин $Z = X + Y$ представлен в следующей таблице:

2. Туристическая фирма проводит акцию «Выбери цену сам!». Клиенту, планирующему купить путёвку, предлагается независимо вытянуть два билета: первый — с величиной ежедневной скидки за путёвку, второй — с количеством дней, в течение которых будет действовать эта скидка.

Найдите вероятность того, что туристическая фирма предоставит клиенту скидку на общую сумму 4000 р.

Для решения задачи необходимо найти все комбинации ежедневной скидки и количества дней, произведение которых дает общую скидку в 4000 р. Затем, для каждой такой комбинации, нужно вычислить вероятность ее наступления и сложить полученные вероятности, так как эти комбинации являются несовместными событиями.

Обозначим величину ежедневной скидки как $S$, а количество дней как $D$. Общая сумма скидки равна $T = S \cdot D$. Мы ищем вероятность $P(T = 4000)$.

По условию, выбор величины скидки и времени ее действия — независимые события. Поэтому вероятность одновременного наступления двух событий (например, скидки $S_i$ и количества дней $D_j$) равна произведению их вероятностей: $P(S_i \text{ и } D_j) = P(S_i) \cdot P(D_j)$.

Найдем все пары $(S, D)$, для которых $S \cdot D = 4000$:

1. Если $S = 400$ р., то $D = \frac{4000}{400} = 10$ дней.
2. Если $S = 2000$ р., то $D = \frac{4000}{2000} = 2$ дня.
3. Если $S = 4000$ р., то $D = \frac{4000}{4000} = 1$ день.

Теперь вычислим вероятность для каждого из этих трех несовместных случаев. Вероятности из таблиц представим в виде десятичных дробей.

1. Вероятность комбинации: скидка 400 р. в течение 10 дней
Вероятность скидки 400 р. составляет $P(S=400) = 70\% = 0.7$.
Вероятность срока в 10 дней составляет $P(D=10) = 10\% = 0.1$.
Вероятность этого случая: $P_1 = P(S=400) \cdot P(D=10) = 0.7 \cdot 0.1 = 0.07$.

2. Вероятность комбинации: скидка 2000 р. в течение 2 дней
Вероятность скидки 2000 р. составляет $P(S=2000) = 25\% = 0.25$.
Вероятность срока в 2 дня составляет $P(D=2) = 30\% = 0.3$.
Вероятность этого случая: $P_2 = P(S=2000) \cdot P(D=2) = 0.25 \cdot 0.3 = 0.075$.

3. Вероятность комбинации: скидка 4000 р. в течение 1 дня
Вероятность скидки 4000 р. составляет $P(S=4000) = 5\% = 0.05$.
Вероятность срока в 1 день составляет $P(D=1) = 40\% = 0.4$.
Вероятность этого случая: $P_3 = P(S=4000) \cdot P(D=1) = 0.05 \cdot 0.4 = 0.02$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:
$P(\text{общая скидка} = 4000) = P_1 + P_2 + P_3 = 0.07 + 0.075 + 0.02 = 0.165$.

Ответ: 0.165