Страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Найдите дисперсии случайных величин $x$ и $y$, рассмотренных в примере о безопасности автомобиля.

Поскольку в задании не приводится сам «пример о безопасности автомобиля», для решения задачи необходимо сделать предположение о данных этого примера. Предположим, что в примере рассматривались две дискретные случайные величины $x$ и $y$, и их совместное распределение вероятностей $p(x_i, y_j) = P(x=x_i, y=y_j)$ было задано следующей таблицей:

Здесь $x$ может представлять количество установленных систем безопасности (например, 1 или 2), а $y$ — уровень безопасности, оцененный в баллах (1, 2 или 3).

Дисперсия случайной величины $X$ вычисляется по формуле: $D(X) = M[X^2] - (M[X])^2$, где $M[X]$ — математическое ожидание $X$.

Дисперсия случайной величины x

1. Найдем маргинальное распределение вероятностей для $x$. Для этого просуммируем вероятности по строкам таблицы:

$P(x=1) = p(1,1) + p(1,2) + p(1,3) = 0.10 + 0.20 + 0.10 = 0.40$

$P(x=2) = p(2,1) + p(2,2) + p(2,3) = 0.05 + 0.10 + 0.45 = 0.60$

Проверка: $0.40 + 0.60 = 1.00$.

2. Вычислим математическое ожидание $M[x]$.

$M[x] = \sum_{i} x_i \cdot P(x=x_i) = 1 \cdot 0.40 + 2 \cdot 0.60 = 0.4 + 1.2 = 1.6$

3. Вычислим математическое ожидание квадрата $M[x^2]$.

$M[x^2] = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x=x_i) = 1^2 \cdot 0.40 + 2^2 \cdot 0.60 = 1 \cdot 0.40 + 4 \cdot 0.60 = 0.4 + 2.4 = 2.8$

4. Вычислим дисперсию $D(x)$.

$D(x) = M[x^2] - (M[x])^2 = 2.8 - (1.6)^2 = 2.8 - 2.56 = 0.24$

Ответ: $D(x) = 0.24$

Дисперсия случайной величины y

1. Найдем маргинальное распределение вероятностей для $y$. Для этого просуммируем вероятности по столбцам таблицы:

$P(y=1) = p(1,1) + p(2,1) = 0.10 + 0.05 = 0.15$

$P(y=2) = p(1,2) + p(2,2) = 0.20 + 0.10 = 0.30$

$P(y=3) = p(1,3) + p(2,3) = 0.10 + 0.45 = 0.55$

Проверка: $0.15 + 0.30 + 0.55 = 1.00$.

2. Вычислим математическое ожидание $M[y]$.

$M[y] = \sum_{j} y_j \cdot P(y=y_j) = 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.30 + 3 \cdot 0.55 = 0.15 + 0.60 + 1.65 = 2.4$

3. Вычислим математическое ожидание квадрата $M[y^2]$.

$M[y^2] = \sum_{j} y_j^2 \cdot P(y=y_j) = 1^2 \cdot 0.15 + 2^2 \cdot 0.30 + 3^2 \cdot 0.55 = 1 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.30 + 9 \cdot 0.55 = 0.15 + 1.20 + 4.95 = 6.3$

4. Вычислим дисперсию $D(y)$.

$D(y) = M[y^2] - (M[y])^2 = 6.3 - (2.4)^2 = 6.3 - 5.76 = 0.54$

Ответ: $D(y) = 0.54$

2. Найдите дисперсию числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика.

Дисперсия случайной величины является мерой разброса её значений относительно её математического ожидания. Для нахождения дисперсии числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика, необходимо выполнить несколько шагов.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная числу очков, выпавших при одном бросании кубика. Возможные значения, которые может принимать $X$, это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Поскольку игральный кубик считается правильным (симметричным), вероятность выпадения каждой из шести граней одинакова: $P(X=k) = \frac{1}{6}$ для любого $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Дисперсию $D(X)$ можно рассчитать по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание случайной величины $X$, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины $X$.

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$

Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: $M(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot p_i = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ $M(X) = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$

Для этого нужно каждое значение случайной величины возвести в квадрат, умножить на его вероятность и сложить полученные произведения: $M(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 \cdot p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$ $M(X^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$

3. Вычислим дисперсию $D(X)$

Теперь подставим найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в формулу для дисперсии: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2$ $D(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $D(X) = \frac{91 \cdot 2}{12} - \frac{49 \cdot 3}{12} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

Ответ: $\frac{35}{12}$

3. Пусть случайная величина $x$ имеет распределение Бернулли:

Значение $x$ 0 1

Вероятность $1 - p$ $p$

Докажите, что

$M(x) = p, D(x) = p(1 - p)$.

Для решения задачи нам понадобятся определения математического ожидания и дисперсии для дискретной случайной величины.

Случайная величина $x$ имеет распределение Бернулли и принимает следующие значения:

• $x_1 = 0$ с вероятностью $p_1 = 1 - p$
• $x_2 = 1$ с вероятностью $p_2 = p$

Доказательство, что $M(x) = p$

Математическое ожидание ($M(x)$) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула имеет вид:

$M(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Применим эту формулу к нашей случайной величине $x$:

$M(x) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p$

Выполним вычисления:

$M(x) = 0 + p = p$

Таким образом, математическое ожидание случайной величины $x$, имеющей распределение Бернулли, действительно равно $p$.

Ответ: Доказано, что $M(x) = p$.

Доказательство, что $D(x) = p(1 - p)$

Дисперсия ($D(x)$) дискретной случайной величины может быть вычислена по формуле:

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2$

Мы уже доказали, что $M(x) = p$. Теперь нам нужно найти $M(x^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины. Оно вычисляется аналогично математическому ожиданию, но значения величины возводятся в квадрат:

$M(x^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

Подставим наши значения:

$M(x^2) = x_1^2 \cdot p_1 + x_2^2 \cdot p_2 = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p$

Выполним вычисления:

$M(x^2) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = 0 + p = p$

Теперь, зная $M(x^2) = p$ и $M(x) = p$, подставим эти значения в формулу для дисперсии:

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2 = p - p^2$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$D(x) = p(1 - p)$

Таким образом, дисперсия случайной величины $x$, имеющей распределение Бернулли, действительно равна $p(1-p)$.

Ответ: Доказано, что $D(x) = p(1-p)$.